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工業力学補足・復習スライド
Industrial Mechanics
第14回：エネルギー・動力・摩擦
おさらい
仕事
 物体に力 F が作用し，力の方向に距離 s だけ変位した時，
W = Fs を，力が物体になした仕事 (work) という．
 力 F と変位の方向が異なる場合は，互いになす角度を q と
したとき, W = F cosq s である．つまり，力のうち，物体の
運動に寄与した成分 (F cosq) だけを考慮する．
s
F
s
F
q
F
3
仕事
 軌道 PQ 上において，物体に力をかけて動かした時の仕事
を考える．
 軌道上のある位置で作用する力 F が，運動方向 (軌道の接
線方向) と角 q をなしており，そこから微小距離 ds 動く場
合，その間になされる微小仕事 dW は dW F cos ds.
 P から Q まで動く間の総仕事量は dW の積分で，
W
F
Q
P
F cos ds.
q
P
ds
Q
4
仕事の単位と次元
 仕事は力 (の移動方向成分) と移動距離の積である．その
次元は (力)・(長さ) であり，(力) = (質量)・(長さ)・(時
間)-2 なので，(仕事) = (質量)・(長さ)2・(時間)-2 とも言
える (トルクと同じ次元の物理量である)．
 単位は [N]・[m] であり，[Nm] と書いても良いが，一般に
この単位はトルクの単位として用いられる．
 仕事 (およびエネルギー) には専用の単位 [J] (=[Nm]) が
あり，これを使うのが一般的 (教科書では使ってない…)．
5
バネ力がなす仕事
 バネは伸び量に応じて引張力 (圧縮力) が変動する．
 つまり，バネを伸ばしていく (縮めていく) ときの仕事の
計算は，力を変動させた積分計算となる．
 バネ力は伸び (縮み) 量 x に対して F = kx なので，自然長
のバネを x だけ伸ばす仕事は以下のとおりとなる．
x
1 2
W
F ds
kx dx
kx .
0
2
伸び
x
F
6
重力のなす仕事
 傾斜 q の斜面に置かれた物体が重力によって滑り落ちるこ
とを考える．
 重力の運動方向成分は mg sinq であり，この力で距離 s を
動くので，W = mgs sinq．一方，高低差を h とすると, h =
s sinq なので, W = mgh となり，高低差のみに依存する．
 このように，おこなう仕事が途中経路に無関係で，最初と
最後の位置のみに依存する力を保存力 (conservative
force) という．
s
mg sinq
q
h
mg
7
回転に関する仕事
 図のように，軸 O のまわりに回転運動をする物体に，つ
ねに円周方向を向く力 F をかけ続けて角度 q 回したとき，
移動距離は r q なので, W = Fr q．
 一方，力によるトルクは N = Fr であるから, W = Nq．
 すなわち，トルク N で角度 q 回転させる仕事は，トルクと
回転角の積 W = Nq で表される．
F
q
F
8
エネルギー
 高いところに置かれた物体や圧縮された空気，回転してい
るはずみ車などは，仕事をする潜在的能力を持っている．
これをエネルギー (energy) という．
 その量は，なしうることのできる仕事の量で表され，した
がってエネルギーの次元や単位は仕事と同じである．
 エネルギーは位置エネルギー，運動エネルギー，熱エネル
ギー，化学エネルギー，電気エネルギー，原子核エネル
ギーなど，多様な形態を持ちうるが，ことなる形のエネル
ギーに変化したとしても，全体としてのエネルギーの量は
不変である．
 これをエネルギー保存の法則 (law of conservation of
energy) という．
9
位置エネルギー
 高いところに置いた物体や引き伸ばされたバネなどは，そ
の高さや伸び量に応じたエネルギーを有する．
これを位置エネルギー (potential energy) という．
 重力による位置エネルギー
 基準高さを 0 としたときの物体の高さを h とし，物体の
質量を m，重力加速度を g とすると，その位置エネル
ギーは mgh．
 バネによる位置エネルギー
 自然長からの伸び量を x，バネ定数を k とすると，この
バネの位置エネルギーは
1 2
kx .
2
10
運動エネルギー
 並進または回転運動をしている物体は，その勢いを利用し
て他の物体を押して仕事をすることができる．これを運
動エネルギー (kinematic energy) という．
 質量 m，速さ v で並進運動している物体が有する運動エネ
ルギーは
1 2
T
mv .
2
 慣性モーメント I，角速度 w で回転運動している物体が有
する運動エネルギーは
1 2
T
I .
2
11

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