j - SUUGAKU.JP

1
次の空欄
ア
∼
ク
に当てはまる数または式を記入せよ．
p
¡
! ¡
! ¡
!
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
(1) ベクトル a ; b ; c が，j a j = 5，j b j = 2，j a ¡ b j = 13，j c j = j a ¡ t b j の関係を満たすと
¡
!
き，j c j の最小値はアである．ただし，t は実数とする．
(2) 整式 f(x) を x + 5 で割ると余りが ¡11，(x + 2)2 で割ると余りが x + 3 となる．このとき，f(x) を
(x + 5)(x + 2)2 で割ると余りは
である．
イ
(3) 全体集合 U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g の部分集合 A; B について，A \ B = f1; 3g，A [ B =
f1; 2; 3; 6; 7; 8g であるとき，集合 A =
である．ただし，A は A の補集合，B は B の補集合
ウ
とする．
(4) さいころを 4 回投げるとき，偶数の目がちょうど 2 回出る確率は
エ
である．
(5) ある細菌は 1 時間毎に分裂して個数が 2 倍になる．最初に 10 個あるとき，100 万個を初めて超えるのは
時間後である．ただし，log10 2 = 0:301 とし，整数で答えよ．
オ
(6) 複素数 z = a + i について，z4 が実数となるとき，z4 のとりうる値は
であり，i は虚数単位とする．
(7) 関数 f(x) が f0 (x) = 3x + 2 と
(8)
25
P
(2k ¡ 1)2 の値は
ク
Z
カ
である．ただし，a は実数
2
0
f(x) dx = 4 をともに満たすとき，f(x) =
キ
である．
である．
k=1
（立教大学 2015 ）
2
図のように ÎACB が直角である直角三角形 ABC があり，a = BC，b = CA，c = AB，ÎABC =
µ #0 < µ <
¼
µ
;，t = tan
とする．このとき，次の問に答えよ．
2
2
A
c
b
B
(1)
a
b
;
をそれぞれ t を用いて表せ．
c
c
(2)
b
を t を用いて表せ．
a+c
(3)
12
b
=
となる t の値を求めよ．
c
13
µ
a
(4) a; b; c を適当に並び換えると等差数列になるときの
C
a
b
;
の値の組をすべて求めよ．
c
c
（立教大学 2015 ）
-1-
3
座標平面上の 2 つの直線 `1 ，`2 と円 C を，`1 : 3x ¡ y ¡ 1 = 0，`2 : x + 3y ¡ 3 = 0，C : x2 + y2 ¡
4x ¡ 2y + 3 = 0 と定めるとき，次の問に答えよ．
(1) 直線 `1 と直線 `2 の交点の座標を求めよ．
(2) 円 C と直線 `1 との共有点の座標を求めよ．
(3) 円 C と直線 `2 との共有点の座標を求めよ．
(4) 連立不等式
W
(3x ¡ y ¡ 1)(x + 3y ¡ 3) 5 0
x2 + y2 ¡ 4x ¡ 2y + 3 5 0
の表す領域の面積を求めよ．
（立教大学 2015 ）
4
次の空欄
ア
∼
ス
に当てはまる数または式を記入せよ．
(1) x2 ¡ y2 ¡ z2 + 2yz を因数分解すると，アとなる．
1
のとき，sin µ cos µ の値は
(2) sin µ ¡ cos µ =
イである．
2
(3) 3 次方程式 4x3 ¡ 23x + 39 = 0 の解は，x = ウ，エ，
(4) 関数 f(x) = 4x + 4¡x ¡ 3(2x + 2¡x ) + 2 の最小値は
カ
オ
である．
である．
(5) 数列 1; 3; 6; 10; 15; 21; Ý の第 n 項を n の式で表すとキである．
B
4
1
log5 27; log125 9; log5 27 のうち最大のものはクであり，最小のものはケである．
(6)
2
(7) 2 次方程式 x2 + px + q = 0 の 2 つの解を ®; ¯ とする．® ¡ ¯ = ¡4，®3 ¡ ¯3 = ¡28 であるとき，
p=
コ
または
サ
，q =
シ
である．
(8) 1 個のさいころを 2 回続けて投げるとき，1 回目に出た目より大きい目が 2 回目に出る確率は
ス
で
ある．
（立教大学 2014 ）
-2-
5
¡! ¡
! ¡! ¡
!
平面上に三角形 OAB があり，OA = a ，OB = b とする．このとき，次の問に答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) 線分 AB の中点を C とする．OC を a ; b を用いて表せ．
¡! ¡!
(2) 線分 OA を s : (1 ¡ s)，線分 OB を t : (1 ¡ t) に内分した点をそれぞれ D，E とする．DB，EA を
¡
! ¡
!
s; t; a ; b を用いて表せ．ただし，0 < s < 1，0 < t < 1 とする．
¡! ¡
! ¡
!
1
2
(3) 線分 DB と線分 EA の交点を F とする．s =
; t=
のとき，OF を a ; b を用いて表せ．
3
3
(4) (3) で用いた s; t の値に対し，線分 OF の中点を H，線分 DE を k : (1 ¡ k) に内分した点を G とすると
き，H，G，C が一直線上にあるときの k の値を求めよ．
（立教大学 2014 ）
6
1 2
3
x + ax ¡
がある．
2
2
放物線 C1 上の点 P(2; 2) を通り，点 P での接線に直交する直線を ` とする．このとき，次の問に答えよ．
a > 0 とする．座標平面上に 2 つの放物線 C1 : y = x2 ¡ 2x + 2 と C2 : y = ¡
(1) 直線 ` の方程式を求めよ．
(2) 2 つの放物線 C1 ; C2 が共有点をもたないとき，a の値の範囲を求めよ．
(3) 直線 ` が放物線 C2 に接しているとき，a の値と接点の座標を求めよ．
(4) a を (3) で求めた値としたとき，直線 ` と放物線 C1 ; C2 および y 軸で囲まれる部分の面積を S とする．
S の値を求めよ．
（立教大学 2014 ）
-3-
7
次の空欄
;
ア
イ
に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄
ウ
∼
に当
シ
てはまる数または式を記入せよ．
(1) ある自然数 n について，命題「 n が偶数ならば n 2 は偶数である」の逆は
(2) 3 次方程式 x3 + 2x2 ¡ 8x ¡ 21 = 0 の解は x =
ウ
;
エ
3
(3) (2x + cos µ) を展開したときの x2 の係数が ¡6 のとき，µ =
;
ア
イ
である．
である．
オ
カ
，対偶は
である．ただし，0 5 µ < ¼ と
する．
(4) 2 次方程式 x2 ¡ 2(k + 1)x + 2k2 = 0 が実数解をもつような実数 k の値の範囲は
(5) 不等式 ¡1 + 2 log2 (x + 1) > log 1 (2 ¡ x) を満たす x の値の範囲は
ク
キ
である．
である．
2
(6) A 君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速 80 m で 30 分歩き，その後自転車に乗っ
て 10 分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速 130 m であった．このときの自転車の速さは分速
m である．
¡
!
¡
!
(7) 2 つのベクトル a = (1; ¡2; 1) と b = (x; y; ¡1) の大きさが等しく，なす角が 60± のとき，x の値
ケ
は
コ
，
サ
である．
(8) 数列 1; 11; 111; 1111; 11111; Ý の第 n 項を n の式で表すと，
シ
となる．
（立教大学 2013 ）
8
弓道部の A 君が矢を射るとき，矢が的に命中する確率を a (0 < a < 1) とする．n を自然数とし，m を
0 5 m 5 n を満たす整数とする．A 君が矢を n 回射るとき，ちょうど m 回命中する確率を p(m; n) とす
る．このとき，次の問に答えよ．
(1) p(1; 3) を a の式で表せ．
(2) p(7; 9) を a の式で表せ．
(3) ある自然数 x; y (x 5 y) について p(x ¡ 1; y) = p(x; y) であるとき，a の値を x; y の式で表せ．
（立教大学 2013 ）
9
座標平面上に放物線 C : y = ax2 + 1 がある．放物線 C 上の点 P における接線を ` とし，点 P の x 座標を
p とする．ただし，a > 0，p > 0 とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 直線 ` の方程式を a; p を用いて表せ．
(2) 直線 `，放物線 C，および y 軸で囲まれる部分の面積 S を a; p を用いて表せ．
(3) 直線 ` と原点との距離が 1 のとき，S を a を用いて表せ．
（立教大学 2013 ）
-4-
10 次の空欄ア∼ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1) (x ¡ 2y)8 の展開式における x5 y3 の係数は
アである．
Z2
(2)
(x2 ¡ ax + 2) dx = 0 の等式を満たす定数 a の値は
イ
0
である．
(3) 1 から 200 までの整数で，3 および 7 のいずれでも割りきれない数の個数は
(4) 方程式 5x + 3y + z = 15 を満たす自然数 x; y; z の組の個数は
エ
ウ
個である．
個である．
(5) 原点 O から出発して数直線上を動く点 P がある．点 P は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の
数に +3 をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に ¡2 をかけた数だけ移動する．このサイコ
ロを 1 回振るときの点 P の数直線上の位置の期待値は
オ
である．
(6) a = log2 5; b = log2 9 とおく．log4 150 を a; b を用いて表すと
カである．
bi
a
+
で与えられたとき，z = 4i となるような実数 a; b を求めると，
(7) 複素数 z が z =
1 ¡ 3i
1 + 3i
a = キ ; b = クである．ただし，i は虚数単位とする．
¡!
¡!
¡! ¡!
(8) O を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル OP = (2; 6) と OQ がある．OP と OQ のなす角が
¼
であるとき，点 Q の x 座標は
ケである．ただし，点 Q の x 座標は 2 より小さいとする．
3
（立教大学 2012 ）
11 k は自然数とし，数列 fan g は
a1 =
B
2;
(2an + k)an+1 = kan ¡ 2 (n = 1; 2; 3; Ý)
を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) a3 を k を用いて表せ．
p
2
(2) a3 = ¡
となる k を求めよ．
2
(3) (2) で求めた k について，a5 と a2012 を求めよ．
（立教大学 2012 ）
-5-
1
を満たす定数とする．座標平面上の半径 R の円 C1 : x2 + (y ¡ a)2 = R2 は，y > 0 の表す
2
領域にある．円 C1 が放物線 y = x2 と共有する点は 2 点のみである．このとき，次の問いに答えよ．
12 a は a >
(1) 共有点の y 座標および a を，R を用いて表せ．
(2) 円 C1 と放物線 y = x2 の共有点における放物線の 2 つの接線のうち傾きが正のものを ` とする．` の式を
R を用いて表せ．
(3) 点 (0; ¡a) を中心とする半径 r の円 C2 が直線 ` と接するとき，r を R を用いて表せ．
（立教大学 2012 ）
13 次の空欄ア∼ソに当てはまる数または式を記入せよ．
(1) x が 0 < x < 1 と x2 +
1
= 3 を満たすとき，x3 の値は
x2
ア
x+1
; + log5 (x ¡ 4) < 2 の解はイ < x <
(2) 不等式 log5 #
2
p
(3) 3 sin µ ¡ cos µ > 1 (¡¼ < µ < ¼) を満たす µ の範囲は，エ
である．
ウ
である．
<µ<
オ
である．
(4) 3 次方程式 x3 + 3x2 ¡ 24x ¡ a = 0 が，異なる 3 つの実数解をもつような定数 a の値の範囲は，
a<
(5) 積分
キ
Z
3
¡3
<
カ
である．
x2 ¡ 1 dx の値は
ク
である．
(6) 2 次不等式 ax2 ¡ 4x + b < 0 の解が ¡3 < x < 5 であるとき，定数 a は
ケ
であり，定数 b は
コ
である．
¡
!
¡
!
(7) 2 つのベクトル a = (2; ¡1; 1) と b = (x ¡ 2; ¡x; 4) のなす角が 30± のとき，x の値は
サ
で
ある．
(8) 点 (x; y) が直線 2x + 3y = 4 の上を動くとする．4x + 8y が最小値をとるとき，x; y の値は x =
y=
ス
シ
，
である．
(9) 三角形 ABC の A における角度は 45± ，C における角度は 75± ，辺 AC の長さが 6 であるとき，辺 BC の長
さは
セ
である．
(10) 0; 1; 2; 3 の数字から選んで 4 桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用いてもよいとすると，2 の倍数
でない自然数は
ソ
個できる．
（立教大学 2011 ）
-6-
14 a; b は a Ë b を満たす定数とする．座標平面上に放物線 C1 が y = x2 + ax + b で与えられ，放物線 C2
が y = x2 + bx + a で与えられている．C1 上の点 P(0; b) での C1 の接線は，C2 上の点 Q で C2 に接して
いるとする．このとき，次の問に答えよ．
(1) a と b の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2) 点 Q の座標を a を用いて表せ．
(3) C1 と C2 の交点 R の座標を a を用いて表せ．
(4) 放物線 C1 ，C2 と線分 PQ で囲まれる図形の面積 A を求めよ．
(5) 線分 PQ 上に点 S を三角形 PRS の面積が (4) で求めた面積 A と一致するようにとる．S の x 座標を求
めよ．
（立教大学 2011 ）
15 数列 fan g は次のように定められている．初項 a1 = 0 であり，すべての自然数 n に対して
an+1 = ¡an +
1 + (¡1)n+1
2
が成り立つ．このとき，次の問に答えよ．
(1) a3 ; a4 を求めよ．
(2) c を定数として bn = (¡1)n (an + c) とおく．fbn g が等差数列になるためには c をどのように定めればよ
いか．c の値を求めよ．
(3) 数列 fan g の一般項を n を用いて表せ．
(4) 数列 fan g の第 2n 項までの 2 乗の和 S2n = a1 2 + a2 2 + Ý + a2n 2 を求めよ．
（立教大学 2011 ）
-7-

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