1 4 次に答えよ.ただし,対数は自然対数とする. 座標平面上に直線 ` : y = 1 x と点 P(9; 2),Q(5; 1) がある.以下の問いに答えよ. 3 p x (1) x > 0 のとき,不等式 x = 2 + log を示せ.また,等号が成り立つときの x の値を求めよ. 4 x と x 軸との交点の x 座標を求めよ. (2) 曲線 y = 2 + log 4 p ¼ (3) 2 曲線 y = x (x = 0); y = 2 + log と x 軸で囲まれた図形を D とするとき,D の面積 4 S を求めよ. (4) (3) の図形 D を y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ. 2 a > 2 とする.曲線 C : y = ついて,次に答えよ. 1 (x > 1) と C の x = a における接線 ` : y = px + q に x2 ¡ 1 (2) 座標平面上の点を直線 ` に関して対称な点に移す移動( 1 次変換)を表す行列 B を求めよ. (1) p と q を a を用いて表せ. (2) 整式 (px + q)(x2 (1) 座標平面上の点を x 軸に関して対称な点に移す移動( 1 次変換)を表す行列 A を求めよ. (3) 点 R を x 軸上を動く点とする.このとき,折れ線 PRQ の長さの最小値を求めよ. a)2 (x ¡ 1) ¡ 1 を p(x ¡ ¡ k) と因数分解したとき,k を a を用いて表せ. 1 また,x > 1 のとき 2 = px + q を示せ. x ¡1 (3) 曲線 C と直線 ` および直線 x = 2 で囲まれた図形の面積を S(a) とするとき, lim S(a) を求 (4) 点 R を x 軸上を動く点,点 S を直線 ` 上を動く点とする.このとき,折れ線 PRSQ の長さの 最小値を求めよ. a!1 めよ. 3 B 曲線 C : y = x 1 ¡ x2( 0 5 x 5 1 )と,直線 ` : y = kx( k は実数)を考える.以下の問い に答えよ. (1) 曲線 C 上の点で y 座標が最大となるものの座標を求めよ. (2) 曲線 C と直線 ` が原点以外の交点を持つときの k の範囲を求め,その交点の座標を k を用いて 表せ. (3) 実数 k は (2) で求めた範囲を動くものとする.原点を O,(2) で求めた交点を P とし,曲線 C と 線分 OP で囲まれる図形 A の面積を S とする.また点 P から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交 1 点を Q とし ,4OPQ の面積を T とする.k = のとき, S ¡ T の最大値および最小値と, 4 そのときの k の値をそれぞれ求めよ. (4) (3) の図形 A を x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積が,4OPQ を x 軸のまわり に 1 回転させてできる回転体の体積と等しくなるときの k の値を求めよ. 5 座標平面上に与えられた 2 点 P(0; 1),A(a; 0) (a = 0) に対し,点 Q を直線 AP 上に A から 見て P と同じ側に AP ¢ AQ = a(a + 1) を満たすようにとる.以下の問いに答えよ. (1) a > 0 のとき x 軸上に点 B(b; 0) (b 5 0) を AP ¢ AQ = AO ¢ AB を満たすようにとる.ただ し,点 O は原点を表す.このとき b の値を求めよ. (2) 点 A が a > 0 を満たしながら x 軸上を移動するとき,点 Q は同一の円 C の周上にある.この 円の中心の座標と半径を求めよ. (3) 点 Q の y 座標の値が最大となるときの点 Q の座標を求めよ.またそのときの a の値を求めよ. 6 箱の中に,数字の 1 を記入したカード,2 を記入したカード,3 を記入したカードがそれぞれ n 9 行列 A; B; X0 ; Y0 を 枚,合計 3n 枚入っている.ただし,n = 4 であり,またカード の裏側には何も書かれていない ものとする.以下の問いに答えよ. (1) 箱の中からカードを 1 枚取り出し,数字を見ないでふせておく.次に箱の中から取り出したカー ド の数字が 1 である確率を求めよ. (2) 箱の中から 2 枚のカード を同時に取り出したとき,カード の数字が異なる確率を n を用いて A=& 3 ¡1 1 3 >; B = & 1 ¡1 ¡3 1 > ; X0 = & 1 1 1 0 > ; Y0 = & 0 ¡1 ¡1 1 > とする.2 次の正方行列 Xn ; Yn (n = 1; 2; 3; Ý) を Xn = AXn¡1 + BYn¡1 ; Yn = BXn¡1 + AYn¡1 表せ. (3) 箱の中から 3 枚のカード を同時に取り出したとき,カード の数字がちょうど 2 種類である確率 を n を用いて表せ. (4) 箱の中から 4 枚のカード を同時に取り出したとき,カード の数字がちょうど 2 種類である確率 により定める.次に答えよ. (1) X1 ; Y1 を求めよ. (2) C = A + B とする.すべての自然数 n に対して を n を用いて表せ. Cn =' 4n ¡n ¢ 4n 0 4n ? が成り立つことを数 学的帰納法によって示せ. 7 2 つのさいころを同時に投げるとき,偶数の目が出たさいころの個数を a,1 の目が出たさいこ (3) 自然数 n に対して Sn = Xn + Yn とおく.Sn を求めよ. ろの個数を b とする.次に答えよ. (4) 自然数 n に対して Tn = Xn ¡ Yn とおく.Tn を求めよ. (1) x に関する 2 次方程式 x2 + 2(a ¡ 1)x + b = 0 が異なる 2 つの実数解をもつような a; b の組 (5) 自然数 n に対して Xn を求めよ. をすべて求めよ. (2) x に関する 2 次方程式 x2 + 2(a ¡ 1)x + b = 0 の実数解の個数の期待値を求めよ.ただし,重 解については,その解の個数を 1 と数える. (3) x に関する 3 次方程式 x3 + 3ax2 ¡ 9a2 x ¡ 27b = 0 の実数解の個数の期待値を求めよ.ただ し,重解( 2 重解または 3 重解)については,その解の個数を 1 と数える. 10 O を原点とする座標平面上に 4 点 A(4; 0),B(4; 4),C(0; 4),D(3; 2) がある.点 R は正方 形 OABC の周上では速さ 4 で動き,正方形の内部では速さ 1 で動く.次に答えよ. (1) 点 P(x; 0) を線分 OA 上の点とする.点 R が O を出発して,折れ線 OPD に沿って D に到達 8 四角形 ABCD を底面とし O を頂点とする四角錐 O-ABCD において,底面の四角形 ABCD は ¡! ¡! AD = 2BC をみたしている.辺 OD の中点を M とし,3 点 A,B,M を通る平面が辺 OC と交 わる点を N とする.次に,四角形 ABNM の対角線の交点を P とし,直線 OP が底面 ABCD と ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! 交わる点を Q とする.OA = a ,OB = b ,OC = c とおいて,次に答えよ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) OM を a ; b ; c を用いて表せ. ¡! ¡ ! (2) ON を c を用いて表せ. ¡! ¡ ! ¡ ! (3) OP を a ; c を用いて表せ. (4) 線分の長さの比 OP : PQ を求めよ. するまでの時間 f(x) (0 5 x 5 4) を求めよ. (2) (1) で求めた f(x) に対して,f0 (x) = 0 をみたす x を求めよ. (3) (1) で求めた f(x) の最小値 T1 を求めよ. (4) 点 Q(4; x) を線分 AB 上の点とする.点 R が O を出発して,折れ線 OAQD に沿って D に到 達するまでの時間を g(x) (0 5 x 5 4) とする.g(x) の最小値 T2 を求め,(3) で求めた値 T1 と の大小を比較せよ.
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