1 (x > 1) - SUUGAKU.JP

1
4
次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
座標平面上に直線 ` : y =
1
x と点 P(9; 2)，Q(5; 1) がある．以下の問いに答えよ．
3
p
x
(1) x > 0 のとき，不等式 x = 2 + log
を示せ．また，等号が成り立つときの x の値を求めよ．
4
x
と x 軸との交点の x 座標を求めよ．
(2) 曲線 y = 2 + log
4
p
¼
(3) 2 曲線 y = x (x = 0); y = 2 + log
と x 軸で囲まれた図形を D とするとき，D の面積
4
S を求めよ．
(4) (3) の図形 D を y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ．
2
a > 2 とする．曲線 C : y =
ついて，次に答えよ．
1
(x > 1) と C の x = a における接線 ` : y = px + q に
x2 ¡ 1
(2) 座標平面上の点を直線 ` に関して対称な点に移す移動（ 1 次変換）を表す行列 B を求めよ．
(1) p と q を a を用いて表せ．
(2) 整式 (px +
q)(x2
(1) 座標平面上の点を x 軸に関して対称な点に移す移動（ 1 次変換）を表す行列 A を求めよ．
(3) 点 R を x 軸上を動く点とする．このとき，折れ線 PRQ の長さの最小値を求めよ．
a)2 (x
¡ 1) ¡ 1 を p(x ¡
¡ k) と因数分解したとき，k を a を用いて表せ．
1
また，x > 1 のとき 2
= px + q を示せ．
x ¡1
(3) 曲線 C と直線 ` および直線 x = 2 で囲まれた図形の面積を S(a) とするとき， lim S(a) を求
(4) 点 R を x 軸上を動く点，点 S を直線 ` 上を動く点とする．このとき，折れ線 PRSQ の長さの
最小値を求めよ．
a!1
めよ．
3
B
曲線 C : y = x 1 ¡ x2（ 0 5 x 5 1 ）と，直線 ` : y = kx（ k は実数）を考える．以下の問い
に答えよ．
(1) 曲線 C 上の点で y 座標が最大となるものの座標を求めよ．
(2) 曲線 C と直線 ` が原点以外の交点を持つときの k の範囲を求め，その交点の座標を k を用いて
表せ．
(3) 実数 k は (2) で求めた範囲を動くものとする．原点を O，(2) で求めた交点を P とし，曲線 C と
線分 OP で囲まれる図形 A の面積を S とする．また点 P から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交
1
点を Q とし，4OPQ の面積を T とする．k =
のとき， S ¡ T の最大値および最小値と，
4
そのときの k の値をそれぞれ求めよ．
(4) (3) の図形 A を x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積が，4OPQ を x 軸のまわり
に 1 回転させてできる回転体の体積と等しくなるときの k の値を求めよ．
5
座標平面上に与えられた 2 点 P(0; 1)，A(a; 0) (a = 0) に対し，点 Q を直線 AP 上に A から
見て P と同じ側に AP ¢ AQ = a(a + 1) を満たすようにとる．以下の問いに答えよ．
(1) a > 0 のとき x 軸上に点 B(b; 0) (b 5 0) を AP ¢ AQ = AO ¢ AB を満たすようにとる．ただ
し，点 O は原点を表す．このとき b の値を求めよ．
(2) 点 A が a > 0 を満たしながら x 軸上を移動するとき，点 Q は同一の円 C の周上にある．この
円の中心の座標と半径を求めよ．
(3) 点 Q の y 座標の値が最大となるときの点 Q の座標を求めよ．またそのときの a の値を求めよ．
6
箱の中に，数字の 1 を記入したカード，2 を記入したカード，3 を記入したカードがそれぞれ n
9
行列 A; B; X0 ; Y0 を
枚，合計 3n 枚入っている．ただし，n = 4 であり，またカードの裏側には何も書かれていない
ものとする．以下の問いに答えよ．
(1) 箱の中からカードを 1 枚取り出し，数字を見ないでふせておく．次に箱の中から取り出したカー
ドの数字が 1 である確率を求めよ．
(2) 箱の中から 2 枚のカードを同時に取り出したとき，カードの数字が異なる確率を n を用いて
A=&
3 ¡1
1
3
>; B = &
1
¡1
¡3
1
> ; X0 = &
1 1
1 0
> ; Y0 = &
0
¡1
¡1
1
>
とする．2 次の正方行列 Xn ; Yn (n = 1; 2; 3; Ý) を
Xn = AXn¡1 + BYn¡1 ;
Yn = BXn¡1 + AYn¡1
表せ．
(3) 箱の中から 3 枚のカードを同時に取り出したとき，カードの数字がちょうど 2 種類である確率
を n を用いて表せ．
(4) 箱の中から 4 枚のカードを同時に取り出したとき，カードの数字がちょうど 2 種類である確率
により定める．次に答えよ．
(1) X1 ; Y1 を求めよ．
(2) C = A + B とする．すべての自然数 n に対して
を n を用いて表せ．
Cn
='
4n
¡n ¢ 4n
0
4n
? が成り立つことを数
学的帰納法によって示せ．
7
2 つのさいころを同時に投げるとき，偶数の目が出たさいころの個数を a，1 の目が出たさいこ
(3) 自然数 n に対して Sn = Xn + Yn とおく．Sn を求めよ．
ろの個数を b とする．次に答えよ．
(4) 自然数 n に対して Tn = Xn ¡ Yn とおく．Tn を求めよ．
(1) x に関する 2 次方程式 x2 + 2(a ¡ 1)x + b = 0 が異なる 2 つの実数解をもつような a; b の組
(5) 自然数 n に対して Xn を求めよ．
をすべて求めよ．
(2) x に関する 2 次方程式 x2 + 2(a ¡ 1)x + b = 0 の実数解の個数の期待値を求めよ．ただし，重
解については，その解の個数を 1 と数える．
(3) x に関する 3 次方程式 x3 + 3ax2 ¡ 9a2 x ¡ 27b = 0 の実数解の個数の期待値を求めよ．ただ
し，重解（ 2 重解または 3 重解）については，その解の個数を 1 と数える．
10 O を原点とする座標平面上に 4 点 A(4; 0)，B(4; 4)，C(0; 4)，D(3; 2) がある．点 R は正方
形 OABC の周上では速さ 4 で動き，正方形の内部では速さ 1 で動く．次に答えよ．
(1) 点 P(x; 0) を線分 OA 上の点とする．点 R が O を出発して，折れ線 OPD に沿って D に到達
8
四角形 ABCD を底面とし O を頂点とする四角錐 O-ABCD において，底面の四角形 ABCD は
¡!
¡!
AD = 2BC をみたしている．辺 OD の中点を M とし，3 点 A，B，M を通る平面が辺 OC と交
わる点を N とする．次に，四角形 ABNM の対角線の交点を P とし，直線 OP が底面 ABCD と
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
交わる点を Q とする．OA = a ，OB = b ，OC = c とおいて，次に答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OM を a ; b ; c を用いて表せ．
¡! ¡
!
(2) ON を c を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(3) OP を a ; c を用いて表せ．
(4) 線分の長さの比 OP : PQ を求めよ．
するまでの時間 f(x) (0 5 x 5 4) を求めよ．
(2) (1) で求めた f(x) に対して，f0 (x) = 0 をみたす x を求めよ．
(3) (1) で求めた f(x) の最小値 T1 を求めよ．
(4) 点 Q(4; x) を線分 AB 上の点とする．点 R が O を出発して，折れ線 OAQD に沿って D に到
達するまでの時間を g(x) (0 5 x 5 4) とする．g(x) の最小値 T2 を求め，(3) で求めた値 T1 と
の大小を比較せよ．

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