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2015 慶應義塾大学看護医療学部（１次）数学解答例
I
（１）
（ア）
−4
(
（イ）
√ )
√
3 2 6
0，，
3
3
（２）
（エ）
（３）
（キ）
10n
(n + 4)(n + 5)
（ケ）
5x2 − 7x + 1
（セ）
1
−
5
（１）
（チ）
3A − 6
（２）
（ナ）
2A
8
(
（オ）
（ク）
√
√ )
3
6
0，，
3
6
（ウ）
−5
（カ）
−
（シ）
3
1
3
41
II
（１）
（２）
（コ）
2
（ソ）
√
2 15
5
（サ）
−1
（タ）
√
15
5
III
（ツ）
（ニ）
3A − 8
3A2 + A
（テ）
3
3
3A − n +
2
2
（ト）
（ス）
5
3
3A − n + 1
2
IV
（１） t2 = cos2 θ − 2 sin θ cos θ + sin2 θ
= 1 − 2 sin θ cos θ
より，sin θ cos θ =
1 − t2
である．したがって
2
y = sin θ cos θ − sin θ + cos θ
1 − t2
+t
2
t2
1
=− +t+
2
2
:::::::::::
=
となる．
（２） t = cos θ − sin θ
(
π)
2 cos θ +
4
(
√
π
π
5
π)
1
5 θ + 5 π より，−1 5 cos θ +
5 √ である．したがって，− 2 5 t 5 1 となる．
::::::::::::
4
4
4
4
2
)
(
√
1
（３） y = − (t − 1)2 + 1
− 25t51
2
=
√
したがって
t = 1 すなわち θ = :0 で最大値 1:
√
√
3
1
t = − 2 すなわち θ = π で最小値 − 2 −
4::
2
::::::::
となる．
V
（１）
(ア) x < 3 のとき
f (x) = (x − 1)(3 − x) − 4x + 12
= 9 − x2
= −(x + 3)(x − 3)
となる．
(イ)
x = 3 のとき
f (x) = (x − 1)(x − 3) − 4x + 12
= x2 − 8x + 15
= (x − 3)(x − 5)
となる．
(ア)，(イ) より，y = f (x) のグラフは次のようになる．
（２）
x < 3 のとき
f 0 (x) = −2x
であるから，P(1，8) における接線 l の方程式は
l : y = f 0 (1)(x − 1) + 8
よって
l : y = −2x + 10
::::::::::::
となる．
（３）
x < 3 において，曲線 y = f (x) と直線 l は点 P 以外に共有点をもたない．
x = 3 のとき
f (x) = −2x + 10
(x − 1)(x − 5) = 0
x = 3 より，x = 5 を得るので
Q(5，0)
:::::
となる．
（４）
求める面積は右図斜線部の面積なので
∫
3
{(−2x + 10) − (9 − x2 )}dx
S=
1
∫
∫
5
{(−2x + 10) − (x2 − 8x + 15)}dx
+
3
3
∫
(x2 − 2x + 1)dx +
=
[
1
5
(−x2 + 6x − 5)dx
3
]3 [ 3
]5
x3
x
2
2
=
− x + x + − + 3x − 5x
3
3
1
3
= :8
となる．

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