一貫クラス数学Ⅱ3学期学年末考査後③

一貫クラス　数学Ⅱ　3学期　学年末考査後③
(　)組(　)番　名前(　)　１
下の表は，10 人の生徒について，右手の握力と左手の握力を測定した結果である。右手
の握力 (kg) と左手の握力 (kg) のそれぞれの分散、標準偏差と2つのデータ艦にある相関
係数を求めよ。また，これらの間にはどのような相関があるか答えよ。　必要ならば右の
表を使うこと
２
生徒の番号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
右手の握力 (kg)
45
39
49
42
40
34
46
44
45
36
左手の握力 (kg)
41
35
45
43
41
38
42
43
39
33
下の表は，10 種類の飲料の価格 x (円) と 1 日の売り上げ個数 y (個) のデータである。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
115
95
110
120
105
115
100
110
125
105
y
45
64
48
24
42
30
53
40
34
60
価格と 1 日の売り上げ個数の間には，どのような相関関係があると考えられるか。相関係
数 r を計算して答えよ。ただし，小数第 3 位を四捨五入せよ。
-1-
//終わった方用
３
右のような 2 つの変量 x，y のデータがある。これらの相関係数
は
ア
であり，x と y の間には
えられる。
イ
イ
の相関があると考
に当てはまるものを，次の ～ から選べ。
1
2
3
4
5
x
4
7
5
3
6
y
3
9
7
5
1
　零　　正　　負
４
右の表は，あるクラスの生徒 10 人に対して行われ
た国語と英語の小テスト (各 10 点満点) の得点をま
とめたものである。ただし，小テストの得点は整数
値をとり，C>D である。また，表の数値はすべて
正確な値であり，四捨五入されていない。
以下，小数の形で解答する場合，指定された桁数の
1 つ下の桁を四捨五入し，解答せよ。途中で割り切
番号
国語
英語
生徒 1
9
9
生徒 2
10
9
生徒 3
4
8
生徒 4
7
6
生徒 5
10
8
生徒 6
5
C
れた場合，指定された桁まで  にマークすること。
生徒 7
5
8
(1)　10 人の国語の得点の平均値 A は
生徒 8
7
9
生徒 9
6
D
生徒 10
7
7
平均値
A
8.0
分散
B
1.00
ア
.
イ
散 B の値は
点である。また，国語の得点の分
ウ
. エオである。さらに，国
語の得点の中央値は
カ
.
キ
点である。
(2)　10 人の英語の得点の平均値が 8.0 点，分散が
1.00 であることから，C と D の間には関係式
C+D= クケ，　0 C - 8 1 2 + 0 D - 8 1 2 =
コ
が成り立つ。上の連立方程式と条件 C>D により，C，D の値は，それぞれ
シ
点であることがわかる。
-2-
サ
点，
５
次の表は，8 人の生徒の数学のテストの点数と，英語のテストの点数の結果である。さら
に，数学のテストの点数の平均値は 6 点であり，英語のテストの点数の中央値は 4.5 点で
あることがわかっている。
生徒の番号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学のテスト
8
6
A
7
5
6
4
9
英語のテスト
4
6
7
3
7
4
B
4
(1)　数学のテストの点数の平均値は 6 点であるから A =
中央値は 4.5 点であるから B =
U
ウ
イ
ア
，英語のテストの点数の
，さらに英語のテストの点数の標準偏差は
である。
(2)　新たに 2 人について数学のテストと英語のテストを
行ったところ，結果は右の表のようになった。
この 2 人の得点を加えた数学のテストの点数の標準偏差
の値は加える前の値と比較して
エ
生徒の番号
9
10
数学のテスト
6
6
英語のテスト
2
8
。同様に，この
2 人の得点を加えた英語のテストの点数の標準偏差の値は加える前の値と比較して
オ
。
エ
，
オ
に当てはまるものを，次の ～ のうちから一つずつ選べ。
　小さくなる　　変わらない　　大きくなる
-3-
１
２
３
４
s　相関係数 0.75，正の相関がある
s　r =-0.83 ，強い負の相関がある
s　(ア)　0.3　(イ)　
s　(ア). (イ)　7.0　(ウ). (エオ)　4.00　(カ). (キ)　7.0　(クケ)　16　(コ)　2
(サ)　9　(シ)　7
５
s　(ア)　3　(イ)　5　U 0 ウ 1 U 2 (エ)　　(オ)　
-4-
１
右手の握力を x，左手の握力を y とすると
x のデータの平均値 x は
x =
1
420
45+39+49+42+40+34+46+44+45 +36 1 =
=42 (kg)
10 0
10
y のデータの平均値 y は
y =
1
400
41+35+45+43+41+38+42+43+39 +33 1 =
=40 (kg)
10 0
10
各生徒について，x - x ，y - y ，0 x - x 1 2，0 y - y 1 2，0 x - x 1 0 y - y 1 を計算すると，次の
表のようになる。
生徒の番号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
x- x
3
-3
7
0
-2
-8
4
2
3
-6
y- y
1
-5
5
3
1
-2
2
3
-1
-7
0x - x 10y - y 1
3
15
35
0
-2
16
8
6
-3
42
計 120
0x - x 1
2
9
9
49
0
4
64
16
4
9
36
計 200
0y - y 1
2
1
25
25
9
1
4
4
9
1
49
計 128
よってxの分散は
yの分散は
200
=20 標準偏差はU 20 =2U 5
10
128
64
=
標準偏差は
10
5
x と y の相関係数 r は　r =
]
64
8 5
= U
5
5
120
120
3
=
= =0.75
4
10U 2 ･ 8U 2
U 200 ･ 128
したがって，x と y には正の相関がある。
-5-
２
x，y のデータの平均をそれぞれ x ， y とすると
x =
1
1100
115+95+110+120+105+115+100+110+125 +105 1 =
=110 (円)
10 0
10
y =
1
440
45+64+48+24+42+30+53+40+34 +60 1 =
=44 (個)
10 0
10
x
y
x- x
y- y
0x - x 10y - y 1 0x - x 1 2 0y - y 1 2
1
115
45
5
1
5
25
1
2
95
64
-15
20
-300
225
400
3
110
48
0
4
0
0
16
4
120
24
10
-20
-200
100
400
5
105
42
-5
-2
10
25
4
6
115
30
5
-14
-70
25
196
7
100
53
-10
9
-90
100
81
8
110
40
0
-4
0
0
16
9
125
34
15
-10
-150
225
100
10
105
60
-5
16
-80
25
256
計
1100
440
-875
750
1470
上の表から，相関係数 r は
r =
-875
5
=- 7 -0.83
6
U 750 U 1470
r は負で -1 に近いから，飲料の価格と 1 日の売り上げ個数の間には，強い負の相関があ
ると考えられる。
３
x，y のデータの平均をそれぞれ x ， y とすると
x =
1
25
4+7+5+3 +6 1 =
=5
50
5
y =
1
25
3+9+7+5 +1 1 =
=5
0
5
5
x
y
x- x
y- y
1
4
3
-1
-2
2
1
4
2
7
9
2
4
8
4
16
3
5
7
0
2
0
0
4
4
3
5
-2
0
0
4
0
5
6
1
1
-4
-4
1
16
計
25
25
6
10
40
上の表から，相関係数 r は　r =
0 x - x 10 y - y 1 0 x - x 1 2 0 y - y 1 2
6
6
=
= ア 0.3
20
10
40
U U
r >0 であるから，正の相関がある。　(イ )
-6-
４
(1)　10 人の国語の得点の平均値 A は
1
9+10+4+7+10+5+5+7+6 +7 1 =7.0 (点)
10 0
各生徒の国語の得点の偏差は　2，3，-3，0，3，-2，-2，0，-1，0
よって，求める分散 B は
1 2
2 + 3 2 + 0 -3 1 2 + 0 2 + 3 2 + 0 -2 1 2 +0 -2 1 2 + 0 2 + 0 -1 1 2 + 0 27 =4.00
10 6
国語の得点を小さい順に並べると　4，5，5，6，7，7，7，9，10，10
よって，中央値は　7+7
=7.0 (点)
2
(2)　10 人の英語の得点の平均値が 8.0 点であるから
1
9+9+8+6+8+C+8+9+D +7 1 =8.0　よって　C+D=16
10 0
各生徒の英語の得点の偏差は　1，1，0，-2，0，C-8 ，0，1，D-8 ，-1
分散が 1.00 であるから
1 2
1 + 1 2 + 0 2 + 0 -2 1 2 + 0 2 + 0 C - 8 1 2 +0 2 + 1 2 + 0 D - 8 1 2 + 0 -1 1 27 =1.00
10 6
よって　0 C - 8 1 2 + 0 D - 8 1 2 =2
C-8 ，D-8 は整数であるから　0 C - 8 1 2 =1 ，0 D - 8 1 2 =1
C>D であるから　C-8=1 ，D-8=-1
よって　C=9 (点)，D=7 (点)　これは C+D=16 を満たす。
５
(1)　数学のテストの点数の平均値は 6 点であるから
8+6+A+7+5+6+4+9
=6 (点)　これを解くと　A =3
8
番号 7 番の生徒を除いた英語のテストの結果を，点数が低い順に並べると
3，4，4，4，6，7，7
点数が低い順から 4 番目と 5 番目の平均値が中央値 4.5 点になる。
B ( 4 のとき，点数が低い順から 4 番目と 5 番目は，4 と 4 になり，その平均値は
4 であるから適さない。
B =5 のとき，点数が低い順から 4 番目と 5 番目は，4 と 5 になり，その平均値は
4.5 であるから適している。
B ) 6 のとき，点数が低い順から 4 番目と 5 番目は，4 と 6 になり，その平均値は
5 であるから適さない。
以上により　B =5
さらに，英語のテストの点数の平均値は　3+4･3+5+6+7･2
=5 (点)
8
よって，英語のテストの点数の分散は
0
3-512+04-512･3+05-512+06-512+07-512･2
=2
8
したがって，英語のテストの点数の標準偏差は　U 2
(2)　番号 9，10 の 2 人の得点を加えた数学のテストの点数の平均値は
-7-
6･8+6+6
=6 (点)
10
これは，2 人の得点を加える前の数学のテストの平均値と同じである。
番号 9，10 の 2 人の得点は数学のテストの平均値と等しいから，得点の散らばりの度合
いを表す標準偏差は小さくなる。()
また，番号 9，10 の 2 人の得点を加えた英語のテストの点数の平均値は
5･8+2+8
=5 (点)
10
これは，2 人の得点を加える前の英語のテストの平均値と同じである。
番号 9，10 の 2 人の得点は英語のテストの最高点と最低点であるから，得点の散らばり
の度合いを表す標準偏差は大きくなる。()
u　具体的に標準偏差を計算してみる。
8 人の数学のテスト結果から
0 3 - 6 1 2 + 0 4 - 6 1 2 + 0 5 - 6 1 2 + 0 6 - 6 1 2 ･ 2+ 0 7 - 6 1 2 +0 8 - 6 1 2 + 0 9 - 6 1 2 =28
よって，分散は　28
=3.5　したがって，標準偏差は　U 3.5
8
10 人の数学のテスト結果から
0 3 - 6 1 2 + 0 4 - 6 1 2 + 0 5 - 6 1 2 + 0 6 - 6 1 2 ･ 4+ 0 7 - 6 1 2 +0 8 - 6 1 2 + 0 9 - 6 1 2 =28
よって，分散は　28
=2.8　したがって，標準偏差は　U 2.8
10
10 人の英語のテスト結果から
0 2 - 5 1 2 + 0 3 - 5 1 2 + 0 4 - 5 1 2 ･ 3+ 0 5 - 5 1 2 + 0 6 - 5 1 2 +0 7 - 5 1 2 ･ 2+ 0 8 - 5 1 2 =34
よって，分散は　34
=3.4　したがって，標準偏差は　U 3.4
10
-8-

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