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2015 年度
早稲田大学
理工学部
（数学）
解答解説
[Ⅰ] 解答・解説
(1)
y
1
y = f (x )
x
O
−1
1
⎧x=
⎪
1+ t2
⎪
(2) ⎨
t3
⎪
=
y
⎪
⎩
1+ t2
(
)
3
2
(
)
3
2
⎧ x = cos 3 θ
(3) ⎨
y
2
3
より、 x + y
2
3
⎩ y = sin θ
A (0 , sin θ )
x
O
とおくと、接線の方程式は
3
1
= 1 となり、アステロイドである。
1
x
y
+
= 1 となり、 x 軸、 y 軸との交点は
cosθ sin θ
B (cos θ , 0 ) であり、 AB = 1 （＝一定）
[Ⅱ] 解答・解答
(1) u = ax + 2by
(2)
v = bx + ay , u 2 − 2v 2 = 1
1 < x + y 2 ≦3 + 2 2
x+ y 2 =
1
x− y 2
…(※)
であるので、(※)より 3 − 2 2 ≦ x + y 2 < 1 …(＃)
ここで（※）＋（＃）より 2 −
2 < x < 2 + 2 であり x は整数なので、これと与式により x = 3 , y = 2
(3) 数学的帰納法により示す。
n = 1 のとき、(2)より成立
(
n = k のとき、「 3 + 2 2
ここで
(3 + 2 2 )
(3 + 2 2 )
k −1
(3 + 2 2 )
k −1
<
k
)
k −1
(
< x + y 2 ≦ 3+ 2 2
(
< x + y 2≦ 3+ 2 2
(
x+ y 2
≦ 3+ 2 2
3+ 2 2
)
)
k +1
k
⇒
(
)
k
x + y 2 = 3 + 2 2 」と仮定する。
の辺々 3 + 2 2 で割ると、
k
(
< (3x − 4 y ) + (3 y − 2 x ) 2 ≦ 3 + 2 2
帰納法の仮定より
)
(3x − 4 y ) + (3 y − 2 x )
(
)
( (3x − 4 y ) − 2(3 y − 2 x )
k
2 = 3+ 2 2
2
)
2
=1
)
k
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(
)
(
)
x+ y 2
= 3+ 2 2
3+ 2 2
x + y 2 = 3+ 2 2
k
k +1
となり、 n = k + 1 のときも成立
∴ すべての自然数 n について与式は成立
[Ⅲ] 解答・解説
(1) 共通解を α とおき、 α を消去することで
a2 − b2 = 4
(2) y = f ( x ) の点 (α , 0 ) における接線と y = g ( x ) の交点の座標は x
= ±α となるので、
1
(− 2α )3 となり (1)より α = − a + b が得られるので
2
6
3
1
1
3
S = (a + b ) =
b2 + 4 + b
6
6
S=
(
)
このカッコの中を微分することで単調増加であることがわかるので、最小値は b = 0 のとき、
4
3
[Ⅳ] 解答・解説
(1) 少なくとも１回、２のカードを引けばよいので
2 1
P3 (1) = 1 − =
3 3
2
5
⎛2⎞
P3 (2) = 1 − ⎜ ⎟ =
9
⎝3⎠
3
⎛ 2 ⎞ 19
P3 (3) = 1 − ⎜ ⎟ =
27
⎝3⎠
(2) 少なくとも１回ずつ、２と３のカードを引けばよいので
P3 (1) = 0
⎧⎪⎛ 2 ⎞ 2 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎫⎪ 2
P3 (2) = 1 − ⎨⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎬ =
⎪⎩⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎪⎭ 9
(3) K = 1 のときは少なくとも 1 回、２が出ればよいので
⎧⎪⎛ 2 ⎞ 3 ⎛ 2 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ 3 ⎫⎪ 4
P3 (3) = 1 − ⎨⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎬ =
⎪⎩⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎪⎭ 9
⎛ N −1⎞
PN (n ) = 1 − ⎜
⎟
⎝ N ⎠
n
K = 2 , 3 , L , N − 1 のときは少なくとも１回ずつ、 K , K + 1 が出ればよいので
n
n
⎧⎪⎛ N − 1 ⎞ 2 ⎛ N − 1 ⎞ 2 ⎛ N − 2 ⎞ 2 ⎫⎪
⎛ N −1⎞ ⎛ N − 2 ⎞
PN (n ) = 1 − ⎨⎜
⎟ +⎜
⎟
⎟ ⎬ = 1− 2⎜
⎟ −⎜
⎟ +⎜
⎪⎩⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠ ⎪⎭
⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠
⎛ N −1 ⎞
K = N のときは少なくとも 1 回、 N が出ればよいので PN (n ) = 1 − ⎜
⎟
⎝ N ⎠
⎛
N →∞
⎝
(4) (3)の結果に n = cN を代入して、 e = lim ⎜1 +
⎛ N −1⎞
lim ⎜
⎟
N →∞
⎝ N ⎠
cN
n
N
1⎞
⎟ を用いると
N⎠
−c
−N
⎧⎪⎛
1 ⎞ ⎫⎪
= lim ⎨⎜1 − ⎟ ⎬ = e − c
N →∞
⎪⎩⎝ N ⎠ ⎪⎭
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⎛ N −2⎞
lim ⎜
⎟
⎝ N ⎠
N →∞
∴
cN
N
− ⎫
⎧
2⎞ 2⎪
⎪⎛
= lim ⎨⎜1 − ⎟ ⎬
N →∞
⎪⎩⎝ N ⎠ ⎪⎭
−2 c
= e− 2c
lim PN (cN ) = 1 − e − c
k = 1 , N のとき
N →∞
K = 2 , 3 , L , N − 1 のとき
lim PN (cN ) = 1 − 2e − c + e −2 c
N →∞
[Ⅴ] 解答・解説
(1) 条件式より、点 P の軌跡は A , B を 2 焦点とする楕円である。
x2 y2
+
= 1 とおくと、 2 s = 4a 、 s 2 − t 2 = 2a より、 p = 2a , q 2 = 2a 2
s2 t 2
x2
y2
+
=1
よって、
4a 2 2a 2
⎛
2
2
(2) (1)より、 y = 2a ⎜⎜1 −
⎝
(3)
x2
4a 2
2a
⎞
⎛
10
x2 ⎞
⎟⎟ となるので、 V = 2π ∫ 2a 2 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ dx =
2π a 3
0
3
⎝ 4a ⎠
⎠
x2
y2
+
= 1 の両辺を x で微分すると、
4a 2 2a 2
dy
x
x
dy y
+
= 0 となり、
=−
2
2
dx
2y
dx a
2a
よって求める面積は
2 × 2π ∫
2a
0
2
⎛ dy ⎞
y + ⎜ y ⎟ dx + 2π a 2
⎝ dx ⎠
2
ここで
∫
2
⎛ dy ⎞
y + ⎜ y ⎟ dx
⎝ dx ⎠
2a
2
0
=∫
=∫
=
2a
0
2a
0
⎛
x2
2a 2 ⎜⎜1 − 2
⎝ 4a
y
2 2a
⎞
⎟⎟ + (− 2 x )2 dx
⎠
y = 8a 2 − x 2
π
1
8a 2 − x 2 dx
2
3
− 2 2a
O
x
2a
2 2a
2 ⎞
a2 ⎛
⎜ 3+ π⎟
2 ⎝
3 ⎠
⎛
⎝
∴ S = 2π a ⎜ 3 + 1 +
2
2 ⎞
π⎟
3 ⎠
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