赤阪 正 純 (httLグ nupri.web fc2 com)
関数 の微分可能性
(1)
なめ らか だ よね 。
瘍
た性
これ らがバ ッチ リー致す ると
線 の傾 きの ことです
関数 のグラフが 「微分可能 である」 とは,簡 単 に
言 えば 「接線がちゃん と引 ける」 とい うことで す
るo,げ、2も
左。,ri、 ,も
・
彼 ぞ手Z)ド ごゞく
グラフがツンツンにとがっていた り,途 切れ てた り
す ると接線 は引け ませ んね
ノ
ノ
べ｀
■免き手￨ム )
ノ
接線 が 引 けるため に
咄
︲
”
衛
レ
き ″ =α での接線 の傾 きが決 まるわけです
微 分 可能 とは
は,な め らかにつ ながっている必要 があ ります
最初 か らグラフの形がわかっていれば,見 た 目で
なめ らかかか ど うか判断できますが,グ ラフの形 が
分 からない場合 はどうすればよいので しようか
そ
のためには,そ もそも 「なめ らかであるJと はどう
い うことなのかを,数 学的 にきちんと定義する必要
が
,:]:￨こ
Cフ
な ります
％
鷹
υれ
/(α
lim―
るとき,関 数 y=
=α で微分可能 か どうか の判定 基
準 は次のようにな ります
Point
″ =α で微分可能 であることのチェ ック方法
質問 ①
右極 限値
H乳
中
が存在 しますか ?
7ム フム
左極 限値
質問 ②
Pointく (微 分可能の定義
極 限値
″
したがって,″
+力 )一 /(α )
が有 限確 定す
αで微分可能
I勁 中
右 極 限値 と左 極 限値 が 一 致 しま
質問 ③
すか ?
であるとい う
以 上 ,3つ の質問 にすべ て υ′sな らば,″
有限確定 しない ときを ″ =α で微分不可能で
で微分可能 です
あるとい う
″注
「極 限値 lim /(α
+力 )一
/(α )
れ-0
る」 とは,右 極 限値 lim
/(α
が有 限確 定 す
+力 )一 /(α )
々― +0
が 共 に存在 して 一
極 限値
中
鳳
致す る場 合 を いい ます
と左
￨う
が存在 しますか ?
例 えば ,υ
にな ります
=α
この グラフは原点付近 ではなめ らか に
つ ながっていて接線 も引けますが,原 点 で接線 を引
くと υ軸 そのものにな り,傾 きが存在 しないので
″=0で は微分不可能 です
右極 限値 や左極 限値 が存 在 しなか った り,存 在 し
た として も 一 致 しなか った ら,微 分 不可能 で す
∠聖生り 三」皇2
場
は /(″ )の ″=α における接線の傾き/′ (α )の こ
とです
υ
モれだ
rro
ミセか ヽ
)i号
つ ま り,「 ″ =α で微分可能 で あるJと は,″
=α
したがって 「微分可能 =接 線 が引ける=な め らか
につながってい る」 と断言す るのは間違いです
あ
=α で微分可能 である」とは,「 極 限値
での接線の傾 きがきちっと定まることをいっている
くまでも し
のです
が有限確定す ること」つ ま
胸 中
り「″ =α にお ける接線の傾 きがきちんと定 まる こ
珍 注 右極限値 とは ″ =α に右側 か ら接線 を近
づ けてい くときの接線の傾 きの ことで,左 極限値 と
は ″ =α に左側か ら接線 を近 づ けて い くときの接
Ч鴫 に
子 ック
`、
qね
すよ
=ヤ7の グラフは下図の よう 透紳につ
.
言うまでもなく,極 限値
1)
口 なのです
θ
ナットつ
しまし7_一
ヒTと
や
`0じ
赤阪 正 純 (httμ
nup五 .web.fc2 com)
関数 の微分可能性
(2)
“
2
3
連続性 と微分可能性
さて ,微 分 可能 か どうか を考 えるにあた って ,忘
連続性のときと同様 , とにか く具体例 で考 えるこ
とが大切です
れ て はな らな いの は連続性 との 関係 で す
■
tネ
セ
■1カ
具体例 で学 ぼ う (Pa此 1)
例題 /(″ )=″ 2_1の ″=1で の微分
関数 υ=/(″ )が ″=α で微分可能ならば
″ =α で 連続 で あ る
,
可能性 を調 べ よ
.
τl
まあ,感 覚的 に明 らかですね
晴
=α で接線 が
考え方
/(■ )=″ 2_1の
グ ラフを見れ ば
,
=1で 連
引けるならば,″ =α でつながっているJと 言って
″=1で ツンツンにとがっているので,″
いるのです
続 か つ微分不可能 であることは明 らかですが,定 義
当然ながら,逆 は成立 しません つ まり,″ =α
や
スリ で連続 で あっても微分可能であるとは限 りませ ん
γうやな「つ ながっている」か らといって,「 接線 が引ける」
とは限 らないか らです つ まり
″
連続 でな ければ微分可能 ではない
だ よね t
こ■t
も,し
ζ
t幕
つ ま り,連 続 でな ければその時点で微
だか ら,微 分可能 か どうかを調 べ る
前 に,連 続 であるか どうかをチェックせねばな りま
ｍ
［
ｉ
︲
分不可能 です
■■も
"考
雀拗み1籠
雀啓
また,対 偶 を考 えると
とな ります
なお ,連 続性 の確 認 は省 略 します
ヽ
υl
tit
´
連続性 は微分可能性 の必要条件
です
に従 って計算 で確認 してみよう
/(1+力 )一 ノ(1)
せ ん (明 らかに連続 で ある場合 は省略 します )
カ
(ヵ
=lim
+1)2_11
カー +0
=lim
た一 +0
_
0
関数 /(″ )が ″ =α で微分可能なので
/′ (α )が 存在する このとき
=lim
れ― +O
=鳳 幾糾
,
、●1■ 哺 `
ぅ
ノ(α )}
=lm{」 (4:≡
塾
夕
2・
(″
鳳
￨[￨'ル
埴ギ チ
l,ま
=lim lλ +21
″― +0
_α )}
=3
ｍ
［
ｉ
︲
雄
lim{ノ (″ )一
ヽ′〃
いちお う証明 しておきます
=/′ (α )・ 0
/(1+λ )一 /(1)
=0
よって,lim/(″ )=/(α )が 成立するので /(″ )
は″=α で連続である
,
■
∠壺」 二」皇主 =胸
甲
胸
=勢
です α+力 =″ とおくと,力 =″ ―αであり
,α は同じだからで
λ-0と ″―
珍注
,
ill,1
‐
く や,7ヽ
カ
(ヵ
=lim
+1)2_1
た一 -0
=ハ 嶋μ
=鳳 訃
=鳳 甲
=lim(一
ーー
カ
=-3
0
カ+2)
LI'一
):[L∫
itつ
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`り
ん
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