数学IA

2015 年
第1問
2
数学 I・A
解説
2
    2  2  (  1)  3 から頂点は (1, 3) ．
第４問
また    () の頂点は (   1,   3) である．
(1) 2 ≦ ≦ 4 における最大値が  (2) になるのは，    () のグラフが
合計 6+6=12 通り．
(3) ABABA のタイプで A が青か緑かで 2 通り．
右上のようになる場合で，軸の位置から   1≦ 2 すなわち  ≦1 のとき
である．

最小値が  (2) になるのはグラフが右下のような場合で，区間の中点
  3 と軸の位置から， 3 ≦   1 すなわち ≧ 2 の場合である．
(2)
(1) 3×2×2×2×2＝48 通り．
(2) ABCBA のタイプが 3!＝6 通り，ABABA のタイプが 3 P2 ＝3×2=6 通り．
   
(4) 赤○赤○赤のタイプで，2 つの○は同じでも良いから， 22  4 通り．
(5) ・どちらかの端の 1 枚が赤は赤 ABAB の 2 倍ある．A，B の選び方が 2 通りある
から，2×2=4 通り．
・端以外の 1 枚が赤は，○赤○○○，○○○赤○がそれぞれ
2×2×1×1＝4 通りずつ．○○赤○○が 2×2=4 通りあるから，合わせて，4×3＝12
通り．
よって，赤が 1 枚であるのは，4+12=16 通り．
(6) 全体(1)から，赤 0 枚の(3)と赤 1 枚の(5)，赤 3 枚の(4)を除いて，
48－(2+4+16)＝26．

   
 ()  0 の解が 2    3 となるのは，  ()  (  2)(  3) となる

場合で，  ()     1
2
   1 ,   13 ．
2
4
  254 であるから，  1  12 ,   3  254 より，
2

第５問
第２問〔1〕(1) 「（ 1 かつ 2 ）⇒（ 1 かつ 2 ）」の対偶は
(1)
「 1 かつ 2 ⇒ 1 かつ 2 」であるが，ド・モルガンの法則により
(2) 「（ 1 かつ 2 ）⇒（ 1 かつ  2 ）」は
「  も   2 も素数である」⇒「   1 は 5 の倍数でなくかつ 6 の倍数である」
であるが，この反例であるから，仮定を満たし結論を満たさない，
「  も   2 も素数
であるが，   1 が 5 の倍数であるかまたは 6 の倍数でない」  が求めるものである．
30 以下の  で，  も   2 も素数である  は，   3, 5, 11, 17, 29 であり，対応す
る   1 は順に，4，6，12，18，30 である．このうち，5 の倍数であるかまたは 6 の倍
数でないものは，  1  4，30．よって，   3，29．
〔2〕余弦定理により
よって，AC＝7．また，sin∠ABC＝sin120 ﾟ＝
3
7
正弦定理により，

sin BCA
sin 120

3 ．
2
 



  6 3  7 が自然数となる最小の   3  7  21．
(2)
「（ 1 または 2 ）⇒（ 1 または 2 ）」．
AC 2  32  52  2  3  5 cos120  9  25  15  49
  756  22  33  7 ．で，正の約数の個数は (2  1)(3  1)(1  1)  24 個．




∴sin∠BCA  1  3  3  3 3 ．
7
2
14
3
△ABD で正弦定理により，
 3 3 であるから
sin ADB sin 60
sin ∠ADB  1 ．鋭角より∠ADB＝30°である．したがって，∠APC   とすると，
2
30 ≦ ≦120 であるから， 1 ≦ sin  ≦1 ．
2
△APC で正弦定理により 2  7 ．よって， 7 ≦ ≦ 7 ．
sin 
2
第３問〔1〕
(1) 上位から 10 番目と 11 番目がともに 25m～30m の階級に属するから，．
(2) (1)と同様に調べて，1 は 15m～20m，2   は 20m～25m に属し，3 は 25m
～30m の階級に属するから，矛盾するのはこれを満たさない，，，，．
(3) は前回よりも 1 の属する階級が上がっていて，どの生徒の記録も下がったの
であれば，起こりえない．
は最大値の階級が下がっていて，最初に取ったデータで上位 1 に入るすべての生
3
徒の記録が伸びた場合には起こりえない．
以上から，，．
〔2〕相関係数は， 54.30  0.947  から， 0.95．
8.21 6.98

 が自然数となるとき，   22  33  7  212  2  32  7  126  ．
(3) 126  11  1 を解くために，この方程式を満たす整数 ,  を 1 組探す．
126  5 (mod11) であるから， 126  11  1 より 5  1 (mod11) である．
5(2)  10  1 (mod 11) であるから，   2 より   23 ．したがって，
126(  2)  11(  23)  0 が成り立ち，126 と 11 が互いに素であるから，  を整数とし
て，   2  11,   23  126 より，   11  2,   126  23 となる．   0 であるから
  11  2 を満たす最小の値は   1 のときの   9．このとき，   126  23  103．
(4)
  212 で ( 0) の最小値が 9 であるから，自然数  で最小のものは
2
21 9  1701．
*(3)で 1 組の解を探すとき，ユークリッドの互除法を用いて，
126＝11・11＋5，11＝5・2＋1 から
1＝11－5・2＝11－(126－11・11)・2＝126(－2)＋11・23
とする方法もある．
第６問
(1)
方べきの定理により
CE・CB＝CA・CD＝5・2＝10．

BE   とおくと， (  5 ) 5  10 であるから


5 ．よって，BE＝ 5 ．
したがって，AB は△ACE の中線である．
AG  2 AB＝ 2  5  10 ．
3
3
3
△DEC と直線 AB に関してメネラウスの定理により
DP  EB  CA  1 ．∴ DP  5  5  1
PE
PE BC AD
5 3





よって， DP  3 ．
EP
5
また，△ABC∽△EDC で相似比は BC：DC＝ 5 : 2 であるから，
DE＝AB・ 2  5  2  2 5 ．
5
5
5
したがって，EP＝ DP＝ 5  3 DE＝ 5  2 5  5 5 ．
8
3
3 8
4





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