一貫クラス数学Ⅱ3学期考査前演習④（プリント⑯～⑳）

一貫クラス　数学Ⅱ　3学期考査前演習④（プリント⑯～⑳）
(　)組(　)番　名前(　)　１
0 ( x ( 2 を定義域とする関数 y =3x 2 -6ax +2 の最大値および最小値を，次の (1) ～ (5)
の場合について求めよ。
(1)　a ( 0　(2)　0< a <1　(3)　a =1　(4)　1< a <2　(5)　2 ( a
２
2 次関数 y = x 2 -2ax + a の 1 ( x ( 2 における最大値および最小値を，a の値の範囲に
よって，場合分けして求めよ。
３
関数 f 0 x 1 =-0 x - 2 1 2 +6 (0 ( x ( a ) の最大値を M，最小値を m とする。
(1)　0< a ( 2 のとき，M =
(2)　2< a ( 4 のとき，M =
(3)　4< a のとき，M =
オ
ア
ウ
，m =
，m =
，m =
イ
エ
カ
である。
である。
である。
４
a ( x ( a +2 における関数 f 0 x1 = x 2 -2x +2 の最小値を求めよ。
５
次の 2 次関数のグラフと x 軸の共有点の座標を求めよ。
(1)　y = x 2 -6x -4　(2)　y =-4x 2 +4x -1
６
(1)　次の 2 次関数のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを求めよ。
(ア)　y =-x 2 +3x +1 (イ)　y = x 2 -2ax + a 2 -4 (a は定数)
(2)　放物線 y = x 2 - 0 k +21 x +2k が x 軸から切り取る線分の長さが 3 であるとき，
定数 k の値を求めよ。
-1-
７
2 次関数 y = ax 2 + bx + c のグラフが右の図のようになる
y
とき，次の値の符号を調べよ。
(1)　a　(2)　b　(3)　c　(4)　b 2 -4ac
(5)　a + b + c　(6)　a - b + c
1
O
-2-
x
１
s
x の値
最大値
２
(1)
(2)
(3)　(4)
(5)
2
2
0，2
0
0
2
2
2
1
a
2
-12a + 14 -12a + 14
x の値
0
a
最小値
2
2
-1
-3a + 2
-3a + 2 -12a + 14
2
s　a ( 1 のとき x =2 で最大値 4-3a，x =1 で最小値 1- a；
1< a <
a =
3
のとき x =2 で最大値 4-3a，x = a で最小値 -a 2 + a；
2
3
1
3
3
のとき x =1 ，2 で最大値 - ，x = で最小値 - ；
2
2
2
4
3
< a <2 のとき x =1 で最大値 1- a，x = a で最小値 -a 2 + a；
2
2 ( a のとき x =1 で最大値 1- a，x =2 で最小値 4-3a
３
s　(ア)　-a 2 +4a +2 (イ)　2　(ウ)　6　(エ)　2　(オ)　6
(カ)　-a 2 +4a +2
４
s　a <-1 のとき x = a +2 で最小値 a 2 +2a +2，
-1 ( a ( 1 のとき x =1 で最小値 1，1< a のとき x = a で最小値 a 2 -2a +2
8
1
，0
2
５
s　(1)　0 3 - U 13 ，01 ，0 3 + U 13 ，01 (2)　６
７
s　(1)　(ア)　U 13 (イ)　4　(2)　k =5 ，-1
9
s　(1)　a >0　(2)　b <0　(3)　c >0　(4)　b 2 -4ac >0
(5)　a + b + c <0　(6)　a - b + c >0
-3-
１
y =3x 2 -6ax +2=30 x 2 -2ax1 +2=30 x 2 -2ax + a 21 -3a 2 +2
=30 x - a1 2 -3a 2 +2
関数 y =3x 2 -6ax +2 のグラフは，下に凸の放物線で，その頂点は点 0 a，-3a 2 +21 ，
軸は直線 x = a である。
また　x =0 のとき　y =2，　x =2 のとき　y =-12a +14
(1) ～ (5) のそれぞれの
y
(1)
場合のグラフから，
最大値と最小値，お
y
(2)
-12a +14
最大
よびそれらの値をと
最大
-12a +14
る x の値は，下の表
のようになる。
最小
2
a
O
y
(3)
(4)
Oa12
2 x
最大
O
O
2
最大値
２
x
x
2 a
x
-12a +14
最小
最小
x の値
x
2 最大 2
1a
最大
-1
最大
O
a =1
最小
y
(5)
y
2
2
2
-3a 2 +2
-3a 2 +2
最小
(1)
(2)
(3)　(4)
(5)
2
2
0，2
0
0
2
2
2
1
a
2
-12a + 14 -12a + 14
x の値
0
a
最小値
2
2
-3a + 2
-1
-3a + 2 -12a + 14
2
y = x 2 -2ax + a = 0 x 2 -2ax + a 21 - a 2 + a
= 0 x - a 1 2 - a 2 + a
関数 y = x 2 -2ax + a のグラフは下に凸の放物線で，その頂点は点 (a，-a 2 + a )，軸は直
線 x = a である。
また　x =1 のとき　y =1- a，　x =2 のとき　y =4-3a
x = a のとき　y =-a 2 + a
-4-
[1]　a ( 1 のとき，1 ( x ( 2 におけるグラフは，右の図
y
の実線部分のようになる。
よって
4-3a
最大
1- a
a O
最小
x =2 のとき最大値 4-3a，
x =1 のとき最小値 1- a
をとる。
a 1
2
x
2
-a + a
[2]　1< a <
3
のとき，1 ( x ( 2 におけるグラフは，
2
y
a
右の図の実線部分のようになる。
よって
x =2 のとき最大値 4-3a，
x = a のとき最小値 -a 2 + a
をとる。
1 a
O
1- a
[3]　a =
最大
4-3a
3
のとき，1 ( x ( 2 におけるグラフは，右の
2
2
-a 2 + a
y
よって
1
x =1 ，2 のとき最大値 - ，
2
3
2 2
1
x
O 最大
-
をとる。
[4]　最小
3
2
図の実線部分のようになる。
3
3
x = のとき最小値 2
4
3
< a <2 のとき
2
x
1
2
-
3
4
最大
最小
y
a
グラフは，右の図の実線部分のようになる。
最大
よって
x =1 のとき最大値 1- a，
1
a2
x
O
2
x = a のとき最小値 -a + a
1- a
4-3a
をとる。
-a 2 + a
-5-
最小
y
[5]　2 ( a のとき
a
グラフは，右の図の実線部分のようになる。
よって
1
x =1 のとき最大値 1- a，
2 a
x
O
x =2 のとき最小値 4-3a
1- a
最大
4-3a
をとる。
最小
-a 2 + a
３
y = f 0 x 1 のグラフは，直線 x =2 を軸とする上に凸の放物線である。
(1)　0< a ( 2 のとき　M = f 0 a 1 =-0 a - 2 1 2 +6 = ア -a 2 + 4a + 2，
m = f 0 0 1 =-0 0 - 2 1 2 +6 = イ 2
(2)　2< a ( 4 のとき　M = f 0 2 1 = ウ 6，
m = f 0 0 1 = エ 2
(3)　4< a のとき　M = f 0 2 1 = オ 6，
m = f 0 a 1 = カ -a 2 + 4a + 2
(1)
y
(2)
y
最小
(3)
最大
最大
最小
a 2
x
O
最大
2
2
O
y
a
2
a4
x
O
2
4
最小
-6-
x
４
f 0 x1 = x 2 -2x +2= 0 x 2 -2x + 1 21 - 1 2 +2
= 0 x - 11 2 +1
よって，関数 y = f 0 x1 のグラフは，下に凸の放物線で，その頂点は点 (1，1)，軸は直線
x =1 である。
[1]　a +2<1 すなわち a <-1 のとき
y
グラフの軸は定義域の右外にあり
f 0 a1 > f 0 a + 21
したがって，x = a +2 のとき最小値をとる。その値は
f 0 a + 21 = 0 a + 2 - 11 2 +1
最小
= 0 a + 11 2 +1
1
= a 2 +2a +2
a
1
O
[2]　a ( 1 かつ 1 ( a +2
a +2
x
y
すなわち　-1 ( a ( 1 のとき
グラフの軸は定義域の内部にある。
したがって，x =1 のとき最小値 1 をとる。
最小
1
a
[3]　1< a のとき
O 1 a +2
x
y
グラフの軸は定義域の左外にあり
f 0 a1 < f 0 a + 21
したがって，x = a のとき最小値をとる。その値は
f 0 a1 = a 2 -2a +2
1
O
-7-
最小
1
a
a +2
x
５
(1)　2 次方程式 x 2 -6x -4=0 の解は
y
(1)
x =
-0 -61 $ U 0 -61 - 4 ･ 1 ･ 0 -41
2･1
=
6 $ U 52
=3 $ U 13
2
2
O
3- U 13
よって，共有点の座標は
-4
3+ U 13
x
0 3 - U 13 ，01 ，0 3 + U 13 ，01
(2)　2 次方程式 -4x 2 +4x -1=0
y
(2)
2
すなわち，4x -4x +1=0 の解は
左辺を因数分解して　0 2x - 11 2 =0
接点
1
ゆえに　2x -1=0　よって　x =
2
1
共有点の座標は　，0
2
8
６
9
O
-1
(1)　(ア)　-x 2 +3x +1=0 とすると　x 2 -3x -1=0
よって　x =
-0 -3 1 $ U 0 -3 1 2 - 4 ･ 1 ･ 0 -1 1
3 $ U 13
=
2･1
2
ゆえに，求める線分の長さは　3 + U 13
3 - U 13
= U 13
2
2
(イ)　x 2 -2ax + a 2 -4=0 とすると x 2 -2ax + 0 a +2 10 a -2 1 =0
よって　6 x - 0 a +21 7 6 x - 0 a -21 7 =0
ゆえに　x = a +2，a -2
よって，求める線分の長さは　a +2- 0 a -21 =4　(2)　x 2 - 0 k +21 x +2k =0 とすると　0 x -21 0 x - k1 =0
よって　x =2，k
ゆえに，放物線が x 軸から切り取る線分の長さは　k -2
よって　k -2 =3
ゆえに　k -2= $3
k -2=3 から　k =5 k -2=-3 から　k =-1
したがって　k =5 ，-1
-8-
1
2
x
７
(1)　グラフは下に凸であるから　a >0
(2)　y = ax 2 + bx + c のグラフの軸は　直線 x =　軸は x >0 の範囲にあるから　-
b
2a
b
b
>0　ゆえに　<0
2a
2a
(1) より，a >0 であるから　b <0
(3)　グラフは y 軸の正の部分で交わっているから　c >0
(4)　グラフは x 軸と異なる 2 点で交わっているから　b 2 -4ac >0
(5)　x =1 のとき　y = a + b + c
グラフは点 0 1，a + b + c1 を通り，この点は x 軸より下側にあるから
a + b + c <0
(6)　x =-1 のとき　y = a - b + c
グラフは点 0 -1，a - b + c1 を通り，この点は x 軸より上側にあるから
a - b + c >0
-9-

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