2015 東京医科歯科大学医学科数学解答例

2015 東京医科歯科大学医学科数学解答例
１
(1) 全てのカードを区別して考える．
数が異なる 2 枚の選び方は 3 C2 · 22 = 12(通り) あるので，
P3 (2) = 12 = 4
5
6 C2
::
である．
同様に考えて
P3 (3) =
· 23
= 2
5
6 C3
::
3 C3
である．
数が異なる 4 枚を選ぶことは不可能であるから P3 (4) = 0
である．
:
(2) m > 10 のとき E10 (m) = mP10 (m) = 0 であるから，m ≦ 10 としてよい．
このとき
E10 (m) = mP10 (m)
=m·
=m·
· 2m
20 Cm
10 Cm
m!(20 − m)!
10!
·
· 2m
m!(10 − m)!
20!
m · 10!(20 − m)!2m
(10 − m)!20!
=
である．
E10 (m) > E10 (m + 1) となる m の範囲を考えると
E10 (m + 1)
<1
E10 (m)
(m + 1)10!(19 − m)!2m+1
(10 − m)!20!
·
<1
(9 − m)!20!
m · 10!(20 − m)!2m
2(m + 1)(10 − m)
<1
m(20 − m)
m2 + 2m − 20 > 0
m ≧ 1 より
m > −1 +
4<
√
21
√
21 < 5 より
m = 1，2，3
のとき E10 (m) < E10 (m + 1)
m = 4，5，· · · ，10 のとき E10 (m) > E10 (m + 1)
となる．
よって，E10 (m) が最大となるのは m = 4
のときである．
:
(3) (2) と同様にして，n ≧ m で考えればよく，
En (m) = m ·
=
m!(2n − m)!
n!
·
· 2m
m!(n − m)!
(2n)!
m · n!(2n − m)!2m
(n − m)!(2n)!
であるから
En (m + 1)
<1
En (m)
(n − m)!(2n)!
(m + 1)n!(2n − m − 1)! · 2m+1
·
<1
(n − m − 1)!(2n)!
m · n!(2n − m)! · 2m
2(m + 1)(n − m)
<1
m(2n − m)
m2 + 2m − 2n > 0
m ≧ 1 より
√
m > −1 + 1 + 2n
√
g(n) = [ 1 + 2n] と n の大小を比較する．
√
n = 1 のとき g(n) = [ 3] = 1 ≦ n
√
n = 2 のとき g(n) = [ 5] = 2 ≦ n
n ≧ 3 のとき
n − g(n) ≧ n −
=
√
1 + 2n
(n − 1)2 − 2
√
>0
n + 1 + 2n
で g(n) ≦ n をみたす．
よって，
f (n) = g(n)
√
= [ 1 + 2n]
::::::::
となる．
２
(1) f ′ (x) = 3 (x +
√
√
a) (x − a) より，次の増減表を得る．
···
√
− a
···
√
a
···
f (x)
+
0
−
0
+
f (x)
↗
x
′
√
√
b + 2a a
↘
√
b − 2a a
↗
√
よって， x = − a のとき極大値 b + 2a a
x =
√
::::::::
√
a のとき極小値 b − 2a a
::::::::
をとる．
(2) g(x) = f (x) − b とすると
g(x) = −g(−x)
であるから，g(x) は奇関数である．区間の対称性も考慮すると g(x) の最大値を m とすると，最小値は −m
となる．a > 0 のときは (1) の増減と同様になり，a ≦ 0 のときは g(x) は単調増加なので

g(−1) = 3a − 1






√
√
g(− a) = 2a a
m=





 g(1) = −3a + 1
(a ≧ 1)
(
)
1
≦a<1
( 4 )
1
a<
4
となる．f (x) の最大値は m + b，最小値は −m + b であり，b ≧ 0 であるから |f (x)| の最大値は m + b とな
る．よって

3a − 1 + b






√
2a a + b
M=





 −3a + 1 + b
(a ≧ 1)
)
(
1
≦a<1
4(
)
1
a<
4
::::::::::::::::::::::::::::
となる．
(3) b < 0 のときは M = − (−m + b) = m − b となるので

3a − 1 + |b|






√
2a a + |b|
M=





 −3a + 1 + |b|
(a ≧ 1)
(
)
1
≦a<1
4(
)
1
a<
4
となる．a ≧ 1 のとき
M = 3a − 1 + |b|
≧2
1
≦ a < 1 のとき
4
√
M = 2a a + |b|
1
≧
4
(等号成立は a = 1, b = 0 のとき)
(
1
等号成立は a = , b = 0 のとき
4
)
1
のとき
4
a<
M = −3a + 1 + |b|
>
1
4
いずれの場合も |b| を適当にとることにより，M はいくらでも大きな値をとれるので，M のとりうる値の
範囲は
1
4
::::::
M≧
である．
３
)
(
) (
(1) F (X ，Y ) (X > 0，Y > 0) とおく．第 1 象限内で曲線 C 上にある点 P は P cos4 θ， sin4 θ
0<θ< π
2
とかけるので，条件（＊）は
(
X − cos θ
4
が0<θ<
)2
(
)2
+ Y − sin4 θ =
(
cos4 θ + sin4 θ
√
12 + 12
)2
1
……⃝
π で常に成立すること．⃝
1 より
2
cos8 θ − 2 sin4 θ cos4 θ + sin8 θ − 4X cos4 θ − 4Y sin4 θ + 2X 2 + 2Y 2 = 0
( 4
)2
2
2
cos θ − sin4 θ − X (1 + cos 2θ) − Y (1 − cos 2θ) + 2X 2 + 2Y 2 = 0
( 2
)2
2
2
cos θ + sin2 θ cos2 2θ − X (cos 2θ + 1) − Y (cos 2θ − 1) + 2X 2 + 2Y 2 = 0
(1 − X − Y ) cos2 2θ − 2 (X − Y ) cos 2θ + 2X 2 + 2Y 2 − X − Y = 0
となるので，これが 0 < θ <
π で常に成立する条件は
2

2
1−X −Y =0
……⃝



3
X −Y =0
……⃝


 2
4
2X + 2Y 2 − X − Y = 0 ……⃝
)
(
1 ， 1 となる．
4 を満たすので，F
2 ，⃝
3 より，X = Y = 1 となり，これは⃝
⃝
2
2 2
:::::::::::
(2) 媒介変数を消去することで
C:
√
x +
√
y =1
(x <
= 1， y <
= 1)
が得られる．よって，曲線 C は x 軸，y 軸に関してそれぞれ対称であり，(1) より，曲線 C の第 1 象限内の
部分は直線 x + y = 0 を準線，点 F を焦点とする放物線であるから，線分 PF が通過する領域は次図の斜線部
分（境界も含む）になる．
)
(
)
(
A (1，0)，B (0，1)，C (−1，0)，D − 1 ， 1 ，E − 1 ，0 として，対称性を考慮すると，求める面積 S
4 4
4
は
∫
1
S = △OAB + 3 ·
(
√ )2
1 − x dx + 2 ·
0
∫
1
4
{ (
}
√ )2
− 1 − x − (3x − 1) dx
0
[
]1
[
] 41
√
√
= 1 · 12 + 3 x − 4 x x + 1 x2 + 2 4 x x − 2x2
2
3
2
3
0
0
13
=
12
:::
となる．
(3) △OAB を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は
π · OB2 · OA · 1 = π
3
3
であり，△CDE を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は
π · DE2 · CE · 1 = π
3
64
となるから，対称性を考慮して，求める体積 V は
V = π + π +
3
64
ここで，t = 1 −
x
t
−1
4
1
2
∫
0
− 14
(
√ )4
π 1 − −x dx
√
−x と置換すると， dx = 2 (1 − t)
dt
−→
0
−→
1
となるので
V = π + π +
3
64
∫
1
1
2
π · t4 · 2 (1 − t) dt
[
]1
= π + π + 2π 1 t5 − 1 t6 1
3
64
5
6
2
= π + π + 19 π
3
64
320
49
π
=
120
:::::
となる．

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