数学I＋A 解答

H26_埼玉県高等学校数学科標準テスト
数学Ⅰ＋Ａ
解答
平成 26 年度（第 64 回）埼玉県高等学校数学科標準テスト
１．(1)
(2)
解答
(−2 x 2 y )3 × 3 xy 2 = −8 x 6 y 3 × 3 xy 2 = −6 x 7 y 5
4
4
12 + 3 − 75 = 2 3 + 3 − 5 3 = (2 + 1 − 5) 3 = −2 3
(3)
x 2 + 3 x − 28 = ( x + 7)( x − 4)
(4)
⎧ x − 2y = 5
⎨
⎩ 3x + y = 1
①＋②×2 より
②に代入して
(5)
数学Ⅰ＋Ａ
"" ①
とおく．
"" ②
7x = 7 ⇔ x = 1
3+ y =1 ⇔
y = −2
直線 y = 4 x − b が点 (−2 , b) を通るためには，この点の座標を代入して
b = −8 − b ⇔ 2b = −8 ⇔ b = −4
２．(1)
A − 2 B = ( x 2 − 2 xy + 3 y 2 ) − 2(−3x 2 + xy − 4 y 2 )
= x 2 − 2 xy + 3 y 2 + 6 x 2 − 2 xy + 8 y 2
2
1
-1
6
= 7 x 2 − 4 xy + 11y 2
-1
12
11
(2)
2 x 2 + 11x − 6 = (2 x − 1)( x + 6)
(3)
π < 3 より 3 − π < 0 であるから
3 − π = −(3 − π ) = π − 3
2
2( 3 − 1)
2( 3 − 1)
=
=
= 3 −1
2
3 + 1 ( 3 + 1)( 3 − 1)
(5) 3 x + 1( 5 x − 7 ⇔ − 2 x ( − 8 ⇔ x ) 4
(4)
３．(1)
y = − x 2 − 4 x + 1 = −( x 2 + 4 x) + 1 = − {( x + 2) 2 − 4} + 1
= −( x + 2) 2 + 5
したがって，頂点の座標は ( −2 , 5)
-1O
-1
-2
-3
-4
y = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 1) 2 − 4 より，軸は x = 1
したがって， −1( x ( 2 において
x = −1 のとき最大値 0 ， x = 1 のとき最小値 − 4
(2)
(3)
y
1
1 2 3x
2 次方程式の解の公式から
x2 + 5x + 2 = 0 ⇔
2
x = −5 ± 5 − 4 ⋅1⋅ 2 = −5 ± 17
2 ⋅1
2
(4)
x 2 + 2 x − 8 < 0 ⇔ ( x + 4)( x − 2) < 0 ⇔ −4 < x < 2
(5)
2 次関数 y = ( x + 3) + k − 4 は下に凸な放物線であるから，x 軸と共有点をもたない
2
ためには，頂点の y 座標が正の値をとればよいから
−1−
k −4 > 0 ⇔ k > 4
http://www.geocities.jp/ikemath
1
４．(1) 2sin 30 + tan 45 = 2 ⋅ + 1 = 2
2
2
2
(2) ∠A が鈍角のとき， cos A < 0 であるから sin A + cos A = 1 より
D
D
()
cos A = − 1 − sin 2 A = − 1 − 1
3
(3)
2
=− 8 =− 2 2
9
3
C
△ABC において正弦定理より
b = 8
sin 60D sin 45D
b
8 × sin 60D = 8 × 2 × 3
2
sin 45D
=4 6
⇔ CA = b =
(4)
A
60,
45,
B
△ABC において，余弦定理より
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos 30D = 42 + (2 3) 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2 3 ⋅
c > 0 より
(4)
8
3
= 16 + 12 − 24 = 4
2
c= 2
△ABC の面積を S とすると
S = 1 bc sin A = 1 ⋅ 4 ⋅ 5sin 30D = 2 ⋅ 5 ⋅ 1 = 5
2
2
2
10 個のデータを小さい順に並べると
2，3，4，4，5，5，6，6，6，9
となる．
平均値は
５．(1)
2 + 3 + 4 × 2 + 5 × 2 + 6 × 3 + 9 = 50 = 5 （回）
10
10
中央値は 5 番目と 6 番目の平均であるから
5 + 5 = 5 （回）
2
最頻値は，度数が最も多い得点であるから
6 （回）
分散は
(2 − 5) 2 + (3 − 5) 2 + 2 × (4 − 5) 2 + 2 × 02 + 3 × (6 − 5) 2 + (9 − 5) 2 34
=
= 3.4
10
10
(2) 右の箱ひげ図から読み取れる
ことは
75 点以上の生徒は 25 人以上
四分位偏差は 20 点以下
であるから
(イ) , (オ)
(3)
20
30
40
50
相関係数が 0.86 の散布図として最もふさわしいものは
ウ
−2−
60 65 70
得点
80
90
H26_埼玉県高等学校数学科標準テスト
数学Ⅰ＋Ａ
解答
６．(1) 一の位は 2，4 の 2 通り，その各々に対して百と十の位は 4 P2 通りであるから，偶
数は
2 × 4 P2 = 2 ×12 = 24 （個）
(2)
男子 2 人の選び方は 5 C2 通り，その各々に対して女子 2 人の選び方は 7 C 2 通りあるか
ら，求める選び方の総数は
5
(3)
C2 × 7 C2 =
5⋅ 4 7 ⋅6
×
= 210 （通り）
2 ⋅1 2 ⋅1
目の和が 6 になるのは， (1 , 5) , (2 , 4) , (3 , 3) , (4 , 2) , (5 , 1) の 5 通り，
目の和が 12 になるのは， (6 , 6) の 1 通り．
したがって，目の和が 6 の倍数になる確率は
5 +1 1
=
62
6
(4)
硬貨を 5 回投げるとき，裏が 2 回出る確率は，反復試行の確率から
( ) ( ) = 52⋅⋅41 × 21 = 165
1
5 C2
2
(5)
2
1− 1
2
3
5
求める確率は
5×4 = 5
8 7 14
７．(1) 三角形の内角の二等分線の性質から
すなわち 6：AC＝4：3
よって
AC =
AB：AC＝BD：DC
6×3 = 9
4
2
(2) △OBC は二等辺三角形であるから
したがって
D
∠OCB=∠OBC＝20°
D
∠AOB＝2･∠ACB＝ 2(40 + 20 ) = 120
D
(3) 接弦定理より ∠ACB＝∠BAT＝23°
BC は円の直径であることから ∠BAC＝90°
よって，△ABC において
D
D
D
∠CBA＝ 180 − (23 + 90 ) = 67
D
(4)
PA＝x とおくと，方べきの定理より
PA･PB＝PT2
すなわち
x ⋅ ( x + 9) = 62 ⇔ x 2 + 9 x − 36 = 0
⇔ ( x + 12)( x − 3) = 0 ⇔ x = −12 , 3
x > 0 より PA＝ x = 3
(5)
正八面体の頂点の数は 6 個，辺の数は 12 本である．
−3−
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８．(1)
288 = 25 ⋅ 32 より，288 の正の約数の個数は
(5 + 1) × (2 + 1) = 18 （個）
⎧ 12 = 22 × 3
⎪
(2) ⎨ 21 =
3 × 7 より，最小公倍数は 22 × 33 × 7 = 756
⎪ 27 =
33
⎩
(3) m = 6k + 3 , n = 6k ′ + 4 （ k , k ′ は整数）とおけるから
m + n = (6k + 3) + (6k ′ + 4) = 6(k + k ′ + 1) + 1
よって，求める余りは 1
(4)
31030(5) = 3 × 54 + 1× 53 + 0 × 52 + 3 × 51 + 0
= 2015
(5) 右のユークリッドの互除法の計算から
求める最大公約数は 64
−4−
2
3
1856
1664
192
192
0
832
768
64
4

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