基礎編練習59 図のように、4つの同じ大きさの球が互いに接していて、下の3つの球は円柱の底面および側面に接しており、上の球は円柱の上面に接しています。球の半径を1 とするとき、この円柱の高さℎはいくつですか。基礎編練習59 解き方) 球を重ねる立体図形問題では、おもに『球の中心と半径』『正四面体の性質』『重心の性質』の3つを用います。求める円柱の高さℎは、球の半径2個分＋ OHの長さになります。上の球の中心をO, 下の3つの球の中心をそれぞれA, B, C とすると、立体O − ABCは正四面体となるから、Oから底面の △ ABCへ下ろした垂線の足をHとすると、Hは △ ABCの重心になる。右図のようにAHの延長線がBCと交わる点をIとすると、IはBCの中点であり、 △ ABCは正三角形なのでAI ⊥ BCとなる。 (※二等辺三角形の場合も直交します。) BI = 1 になり、 △ OBCは正三角形なので、辺の比の関係より OI = 3 となる。 ※ △ OBIは鋭角が30°, 60°の直角三角形になります。 1 Hは △ ABCの重心なので、HI = × AI 3 3 ここで AI = OI = 3 であるから、HI = 3 3 △ OHIに三平方の定理を用いて 3 = OH + 3 3 OH = 3 − 9 8 OH = 3 2 6 ∴ OH = 3 2 6 6+2 6 追加ポイント3 【補助線】よって ℎ = 1 + 1 + = ・・・（答図形に補助線を引く目的は、おもに次の4点です。 3 3 ※このように球を重ねた立体の問題は、私立高校入試では頻出なのですが、解き方を知らないとどうしようもないので、この際に覚えておくことをおすすめします。なお、県入試では未出題です。 1) 相似な図形をつくる。 2) 合同な図形をつくる。 3) 同じ長さの線分をつくる。 4) 同じ面積を持つ図形(とくに三角形)をつくる。追加ポイント1 【重心】補助線の引き方はおもに次の2つです。 1) 平行線を引く。 2) 線分を延長する。 ※参考書や問題集の解答で、『～に補助線を引いて』という書き出しから始まるものが多いのですが、『どうしてここに補助線を引くの？』という疑問が残ったままになりがちですよね....。補助線を引く目的を知れば、より理解が深まるのではないでしょうか。追加ポイント4 【円の共通接線】 △ABCにおいて、各頂点から向かい合う辺の中点に線分を引くと、3つの線分は1箇所で交わり、この交点を重心という。重心は各線分を頂点に近いほうから 2：1 に内分する。追加ポイント2 【正四面体】 4つの面が正三角形である四面体のことで、頂点から底面へ下ろした垂線の足は底面の正三角形の重心になる。 ※県入試では、これらの性質を用いなくても解けるようになっていますが、私立高校入試にはよく登場するので、押さえておきたいです。画像で、2つの円の中心A,Bからそれぞれの接点P,Qに下ろした線分は接線ℓと直交する。 ※高校入試では、この画像の形から三平方の定理を用いて問題を解くというタイプがよく出題されています。