解答例

基礎制御工学・制御システム序論中間試験問題解答
1. 配点 4 点× 3
(1) (c) システムの変化に対して有効であるのは閉ループ制御である
(2) (c) フィードバック制御で最も大切なのは安定性である
(3) (b) ラプラス変換した場合、たたみ込み積分は乗算で計算できる
2. 配点 10 点．解法は複数あるが，一例としては以下のように変形していく．
(1) 要素 G2 と G3 を統合する．
(2) 要素 H2 を含むフィードバックループを前向き要素に置き換える
(3) 前向き要素を統合する．
(4) 全体のフィードバックループを前向き要素に置き換える
数式の変形で解く場合，例えば G1 の出力を Z と置くと G1 の入力は X − H1 Y − H2 Z ，つまり Z =
G1 (X − H1 Y − H2 Z)．移項して整理すると (1 + G1 H2 ) Z = G1 X − G1 H1 Y ．また、Y = G2 Z + G3 Z =
(G2 + G3 ) Z なので，Z を消去する．
G1 X − G1 H1 Y
1
=
Y
1 + G1 H2
G2 + G3
)
G1 H1
1
+
Y
1 + G1 H2
G2 + G3
G1 H1 (G2 + G3 ) + 1 + G1 H2
Y
=
(1 + G1 H2 ) (G2 + G3 )
G1 (G2 + G3 )
Y =
X
1 + G1 H2 + G1 H1 (G2 + G3 )
G1
X=
1 + G1 H2
(
この問題の場合はおそらく式変形で解くよりもブロック線図の変形で考えた方が容易．
3. 配点 10 点．ラプラス変換すると
s2 X(s) − sx(0) − x′ (0) + 6 (sX(s) − x(0)) + 9X(s)
(
)
= s2 + 6s + 9 X(s) − s − 2 = 0
s+2
X(s) = 2
s + 6s + 9
s+2
=
(s + 3)2
A
B
=
+
2
(s + 3)
s+3
公式を使うと
A = (s + 3)2 X(s)
B=
s=−3
}
d {
(s + 3)2 X(s)
ds
= (s + 2)|s=−3 = −1
=
s=−3
d
(s + 2)
ds
=1
s=−3
通分して解くと
X(s) =
Bs + A + 3B
(s + 3)2
2
B = 1, A + 3B = 2 を解くと A = −1, B = 1．つまり
1
1
X(s) = −
+
(s + 3)2
s+3
逆ラプラス変換すると
x(t) = −te−3t + e−3t
4. (1) 配点はそれぞれ 4 点．開ループ伝達関数は
1
3
Go (s) = G(s)H(s) =
·
s+5 s+1
3
= 2
s + 6s + 5
閉ループ伝達関数は
G(s)
Gc (s) =
1 + G(s)H(s)
=
1
s+5
3
s2 +6s+5
1+
s+1
= 2
s + 6s + 8
(2) 配点 10 点．ステップ入力 u(t) のラプラス変換は U (s) = 1s であるので，閉ループ伝達関数に U (s) を
かけることで，ステップ応答のラプラス変換が求まる．これを部分分数展開をする．
Y (s) = Gc (s)U (s)
s+1
=
s(s + 2)(s + 4)
A
B
C
= +
+
s
s+2 s+4
公式を使うと，
s+1
1
=
(s + 2)(s + 4) s=0
8
s+1
1
B = (s + 2)Y (s)|s=−2 =
=
s(s + 4) s=−2
4
A = sY (s)|s=0 =
C = (s + 4)Y (s)|s=−4 =
s+1
s(s + 2)
=−
s=−4
3
8
通分して解く場合は
A(s + 2)(s + 4) + Bs(s + 4) + Cs(s + 2)
s(s + 2)(s + 4)
(A + B + C)s2 + (6A + 4B + 2C)s + 8A
=
s(s + 2)(s + 4)
Y (s) =


 A+B+C =0
6A + 4B + 2C = 1


8A = 1
この連立方程式を解くと C = − 38 , B = 14 , A =
1
8
つまり
1 1
1
3
1
+ ·
− ·
8 4 s+2 8 s+4
3
1 1
y(t) = + e−2t − e−4t
8 4
8
インパルス応答 (U (s) = 1) を解いた場合は，5 点．
Y (s) =
3

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