電位から電場を求める。
電位差の2つの計算の比較
A. 電場と距離ベクトルの内積
V
 E ,E ,E 
E=
x
y
z
z
平面2
(座表を用いた、3次元的イメージ)
s= x ,  y ,  z
 s
 V =− E⋅
s
E
=− E x⋅ x E y⋅ yE z⋅ z
y
平面1
x
B, 電位が位置の関数として与えられているとして、
x, y, z それぞれx, y, z だけ変化するとき、V(x,y,z) の変化は、
 V =V  x x , y y , z z−V  x
,z

=V ( x+ Δ x , y+ Δ y , z+ Δ z)−V ( x+ Δ x , y+ Δ y , z
)
+ V ( x+ Δ x , y+ Δ y , z
)−V ( x+ Δ x , y
,z
)
+ V ( x+ Δ x , y
)−V ( x
,z
)
,z
,y
,y
変化する変数が一つだけになるよう、分解して差をとる。
∂V
∂V
∂V
≃
 x , y , z⋅ x
 x x , y , z⋅ y
 x x , y y , z⋅ z
∂x
∂y
∂z
∂V
∂V
∂V
 V≃
 x
 y
z
∂x
∂y
∂z
微分：物理では、小さい量の比(割り算)。
y= f  x
df Δ f
f '( z)=
≃
dx Δ x
f ( x + Δ x)− f ( x)
=
Δx
df
f ( x + Δ x)− f ( x) ≃
⋅Δ x ( = f '( x)⋅Δ x )
dx
偏微分は、他の変数を定数の様に扱う。
∂ V V  x x , y , z−V  x , y , z  V
≃
=
∂x
x
x
∂V
 V =V  x x , y , z−V  x , y , z≃
⋅ x
∂x
x による偏微分
A, B を比較
 s
 V =− E⋅
A, 電磁場のイメージ
=− E x⋅ x E y⋅ yE z⋅ z
∂V
∂V
∂V
 V≃
 x
 y
z
∂x
∂y
∂z
B, 偏微分の性質
すなわち、
∂V ∂V ∂V
⃗
E=( E x , E y , E z )=−
,
,
∂x ∂y ∂z
(
=
E
grad
 V
V  =− ∇
⃗≡ ∂ , ∂ , ∂
∇
( ∂x ∂y ∂z )
)( (
ΔV ΔV ΔV
≃−
,
,
Δx Δ y Δz
(V の勾配)
ナブラと呼ばれるベクトル・微分演算子
))
電位と地形の比較
クーロン電場　と　富士山付近の地形図
Y
X
無限遠点を基準とする点電荷の
電位を仮定して、２倍の電位差を
１０等分
等高線が混んでくると傾斜が急になる
高さ方向をz軸とする座標系を考え、xy平面
で、
立体図
等高線１
⃗
と置くと、　は等高線に垂直。（1）
G
さらに
Δ x⋅Δ y
Δ l=
(2)
∆z
∆x
∆l
∆y
等高線2
(
)
(1）xy平面で等高線に平行なベクトル
∆y
斜面の方向
Δz
に注意すると、大きさは　(傾き)に
Δl
∂z ∂z
⃗
G=−
,
∂x ∂ y
等高線2
∆l
B
2
等しい。極限で。
平面図
∆x
√ Δ x +Δ y
2
斜面の方向
A
Δz Δz
⃗
G=(G
,G
)
,
)
x
y =−(
Δx Δy
C
(Δ y ,−Δ x)
と内積を取ると０になる。
(2)△ABCの面積は ½・Δx・Δyと
½・Δ l⋅√ Δ x2 +Δ y2
クーロン場の電位から、電場を求める。
Q 1
Q
V r =
=
4  0 r 4  0
∂V
Q
=
∂ x 4  0
1
 x  y z
2
2
2
定数と思って、普通に微分
Q x
=−
3
4   0 r3
2
2
2
x y z
−x


∂V ∂V ∂V
Q
x y z
Q ( x , y , z)
⃗
E=−(
,
,
)=
, 3, 3 =
3
∂x ∂ y ∂z
4 π ε0 r r r
4 π ε0
r3
(
Q r
Q r
=
=
3
4  0 r 4  0 r2
確かに、一個の電荷の作る電場、
Q r

E=
4  0 r2
と、一致する。
)
( r =
r
r
に注意)