微分積分学演習第二Oクラス（12/25）

微分積分学演習第二 O クラス（12/25）
担当：柴田将敬
微分方程式
未知関数とその導関数の関係式となっているような方程式を微分方程式という。特に、未
知関数が多変数関数で偏導関数が出てくるときは偏微分方程式、未知関数が一変数関数のと
きは、常微分方程式という。また、ある微分方程式について、そこに含まれる導関数で、もっ
とも高階なものが、n 階導関数であるとき、n 階微分方程式という。ここでは、常微分方程
式について扱うが、わかりやすくするため、変数を t, 未知関数を y(t) で統一しておく。
例.
y ′ (t) = f (t)
(1)
は常微分方程式である。ここで、f は与えられた t の関数、例えば、f (x) = sin t など。また、
ある点での値を指定することもある（初期値などという）。例えば、
y ′ (t) = f (t),
演習問題 1.
y(0) = 1.
(2)
y ′ (t) = sin t
となる y(t) を求めよ。
演習問題 2.
y ′ (t) = t sin t,
y(0) = 1
となる y(t) を求めよ。
一見単純な常微分方程式であっても、つねに上手く計算出来るわけではない。また、具体
的に解が求まるような微分方程式であっても、そのための方法・技術は非常に多岐に渡る。
ここでは、いくつかの簡単で有名なものを扱う。
変数分離型微分方程式
y ′ (t) = F (y(t))G(t)
というような形の一階常微分方程式を変数分離型微分方程式と呼ぶ。ここで、F や G は一
変数関数である。このような場合、両辺を F (y(t)) で割ると、
y ′ (t)
= G(t)
F (y(t))
1
となるので、両辺を t で積分すれば、
∫
y ′ (t)
dt =
F (y(t))
∫
G(t) dt
となる。右辺は、そのまま単に t で積分すれば良いし、左辺は、z = y(t) で置換すれば、
∫
z
dz =
F (z)
∫
G(t) dt
となって、左辺の積分を計算すれば、（z = y(t) なので）y(t) が求まる。
演習問題 3.
y ′ (t) = y(t)
となる y(t) を求めよ。
演習問題 4.
y ′ (t) = et−y(t)
となる y(t) を求めよ。
演習問題 5.
ty ′ (t) = y(t) + y ′ (t)
となる y(t) を求めよ。
同次形微分方程式
(
′
y (t) = F
y(t)
t
)
というような形の一階常微分方程式を同次形微分方程式と呼ぶ。ここで、F は一変数関数で
ある。このとき、y(t) = z(t)t と変数変換すると、
y ′ (t) = z ′ (t)t + z(t)
なので、
z ′ (t)t + z(t) = F (z(t))
となり、変形すると、
z ′ (t) = (F (z(t)) − z(t))
1
t
を得る。これは変数分離型微分方程式になっているので、先の方法で解ける。
2
演習問題 6.
y ′ (t) =
y 2 (t)
t2 + ty(t)
となる y(t) を求めよ。
一階線形微分方程式
次のような形の微分方程式を一階線形微分方程式という。
y ′ (t) + a(t)y(t) = b(t)
(3)
ここで、a(t) や b(t) は与えられた t の関数である。これを解いてみる。
d
「t や y(t) など」= t の関数
dt
の形になれば、t で積分することによって解が得られるので、無理矢理そういった形を作って
みる。(3) の両辺に µ(t)（後で上手く定める）をかけると、
y ′ (t)µ(t) + a(t)µ(t)y(t) = b(t)µ(t)
ここで、左辺が
d
dt (µ(t)y(t))
になるとすると、
d
(y(t)µ(t)) = y ′ (t)µ(t) + y(t)µ′ (t) = y ′ (t)µ(t) + a(t)µ(t)y(t)
dt
である。つまり、
µ′ (t) = a(t)µ(t)
であれば良い。これは変数分離形なので、µ(t) が求められる。こうして求めた µ(t) を使えば、
d
(y(t)µ(t)) = b(t)µ(t)
dt
なので、両辺を t で積分して、
∫
y(t)µ(t) =
b(t)µ(t) dt
となって、y(t) を求められる。
注 1. いくぶん面倒な方法ですが、（Step 0: (3) の形にして、）Step 1: µ(t) をかけて、Step
2: 左辺が y(t)µ(t) の微分になるように µ(t) を定める。といったように、手順を理解しま
しょう。
3
演習問題 7.
y ′ (t) + y(t) = et ,
y(0) = 1
を満たす y(t) を求めよ。
演習問題 8.
y ′ (t) + 2t y(t) = 2t
を満たす y(t) を求めよ。
■演習問題の答え
1. y(t) = − cos t + C （C は任意）.
2. y(t) = −t cos t + sin t + 1.
3. y(t) = Cet （C は任意）.
4. y(t) = log(et + C) （C は任意）.
5. y(t) = C(t − 1) （C は任意）.
6. y(t) = Ce−y(t)/t （C は任意）.
7. y(t) = (et + e−t )/2 = cosh t.
8. y(t) = 1 + Ce−t （C は任意）.
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