微分積分学I 演習問題2

微分積分学 I 演習問題 2
1. 極限値が存在する場合は求めよ. 極限値が存在しない場合は, そのことを証明せ
よ.
xy 2
x3 + x2 y
(1)
lim
(2)
lim
(x,y)→(0,0) x2 + y 4
(x,y)→(0,0) 2x2 + y 2
2. 次の関数 f の原点における連続性を調べよ.
 2
x + y2


, (x, y) ̸= (0, 0),
x2 + 2y 2
(1) f (x, y) =


0,
(x, y) = (0, 0).
 4
x + x2 + y 2 + y 3


, (x, y) ̸= (0, 0),
x2 + y 2
(2) f (x, y) =


1,
(x, y) = (0, 0).
3. 次の関数の原点での連続性, 偏微分可能性, 全微分可能性を述べよ.

2xy

 2
, (x, y) ̸= (0, 0),
x + y2
f (x, y) =


0,
(x, y) = (0, 0).
4. 関数 z = f (x, y) = xy , x = φ(t) (ふぁい), y = ψ(t) (ぷさい) を考える. 合成関数の
( )
φ(t)
d
の計算公式を導け.
微分法を適用することにより, dt
ψ(t)
5. z = x + 2y とする.
（1） z を x と y の関数と考えて, zx を求めよ.
（2） z を x と u = x + y の関数として書き表し, x についての偏導関数 zx を求めよ.
6. (難) z を (x, y) の関数で C 2 級とする (つまり zx , zy , zxx , zxy , zyx , zyy が全て存在し
て連続である. このとき zxy = zyx である). また x = r cos θ, y = r sin θ とする.
（1）合成関数の微分法を適用し, (r, θ) を変数としたときの偏導関数 ∂z
, ∂z を zx , zy
∂r ∂θ
を用いて表せ.
（2）合成関数の微分法を適用し, zx , zy を (r, θ) の関数と見て, r に関する偏導関数
∂zx ∂zy
, ∂r を zxx , zxy , zyy を用いて表せ.
∂r
（3）次の関係式を証明せよ:
∂ 2z ∂ 2z
∂ 2 z 1 ∂z
1 ∂2z
+
=
+
+
.
∂x2 ∂y 2
∂r2 r ∂r r2 ∂θ2
7. f, g を (t, x) を変数とする C 2 級の関数とするとき, z = f (x + t) + g(x − t) は次の
方程式を満たすことを示せ:
ztt = zxx .

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