東京大学理系3番

３番
u を実数とする。座標平面上の２つの放物線
C1 : y = −x2 + 1
2
C2 : y = (x − u) + u
を考える。C1 と C2 が共有点をもつような u の値の範囲は、実数 a, b により、
a 5 u 5 b と表せる。
(1) a.b の値を求めよ。
(2) u が a 5 u 5 b をみたすとき、C1 と C2 が共有点を P1 (x1 , y1 ),P2 (x2 , y2 )
とする。ただし、共有点が１点のみのときは、P1 と P1 は一致し、ともに
その共有点を表すとする。
2 |x1 y2 − x2 y1 |
を u の式で表せ。
(3) (2) で得られた u の式を f (u) とする。定積分
∫ b
I=
f (u) du
a
を求めよ。
【2014 東京大学理系】
解答
(1) C1 と C2 が共有点をもつために、
2
(x − u) + u = −x2 + 1
⇔ 2x2 − 2ux + u2 + u − 1 = 0
が実数解をもつ。よって、
(
)
u 2 − 2 u2 + u − 1 = 0
⇔ u2 + 2u − 2 5 0
√
√
⇔ −1 − 3 5 u 5 −1 + 3
∴ a = −1 −
√
3, b = −1 +
√
3
(2)
2x2 − 2ux + u2 + u − 1 = 0
c
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-1-
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の２解が、x1 , x2 である。yi = −xi 2 + 1, i = 1, 2 である。
(
)
(
)
x1 y2 − x2 y1 = x1 −x22 + 1 − x2 −x21 + 1
= (x1 x2 + 1) (x1 − x2 )
u2 + u + 1
(x1 − x2 )
2
=
であり、
2 |x1 y2 − x2 y1 | = u2 + u + 1 |x1 − x2 |
√
2
|x1 − x2 | = (x1 + x2 ) − 4x1 x2
√
= −u2 − 2u + 2
(
)√
∴ 2 |x1 y2 − x2 y1 | = u2 + u + 1
−u2 − 2u + 2
(3)
2
−u2 − 2u + 2 = 3 − (u + 1)
だから、
u+1=
とおくと、
du =
√
√
(
π)
3 sin θ |θ| 5
2
3 cos θdθ
であり、
( 2
)√
u +u+1
−u2 − 2u + 2
(√
)
)√
(√
3 sin θ ·
3 sin θ − 1 + 1
3 cos θ
=
(
)
√
√
= 3 cos θ 3 sin2 θ − 3 sin θ + 1
であるから、
∫ π2
(
)
√
I=
3 cos2 θ 3 sin2 θ − 3 sin θ + 1 dθ
−π
2
∫
π
2
=
0
∫
π
2
=
0
3
=
4
∫
(
)
3 cos2 θ 3 sin2 θ + 1 dθ
(
)
1 + cos 2θ
1 − cos 2θ
3·
3·
+ 1 dθ
2
2
π
2
(1 + cos 2θ) (5 − 3 cos 2θ) dθ
)
∫ π(
3 2
1 + cos 4θ
=
5 + 2 cos 2θ − 3 ·
dθ
4 0
2
3 7
21
= · π=
π
4 2
8
0
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