レポート解答5

2014 年数学通論 I 演習解答 5 (津川光太郎)
間違いを見つけたら教えて下さい.
1
(1) 対数微分
y = 2x
より
log y = x log 2 この両辺を x で微分して
y′
= log 2 ∴ y ′ = y log 2 = 2x log 2
y
(2) 講義ノート§5 の例より
d x
x = xx (log x + 1)
dx
合成関数の微分により
y ′ = (xx )′ ex = xx (log x + 1)ex
x
x
(3) sin y = x3 + 1 より y ′ cos y = 3x2 , したがって
3x2
3x2
(∵ y ∈ [−π/2, π/2] より cos y > 0)
=√
cos y
1 − (x3 + 1)2
3x2
3|x|
= √
=√
−x3 (2 + x3 )
−x(2 + x3 )
√
注最後の変形はしてもしなくてもよい。する場合には x2 = |x| であることに注意せよ。
y′ =
(4) 合成関数の微分
1 2
1
1
y ′ = (1 + 2 log x)− 2 = √
2
x
x 1 + 2 log x
(5)
y′ =
√
1
1
1
1
a2 − x2 + x(a2 − x2 )− 2 (−2x) + a2 √
・
2
2
2
1 − x /a |a|
= (a2 − x2 ) 2 + (a2 − x2 )− 2 (a2 − x2 ) = 2(a2 − x2 ) 2
1
1
1
√
ただし, 講義ノート§5 の (arcsin x)′ = 1/ 1 − x2 (1− < x < 1) を用いた.
(6) 対数微分
log y =
1
2
y′
2x
2
log(x2 + 1) − log(x − 1) したがって
=
−
2
3
3
y
3(x + 1) 3(x − 1)
√
(
)
x
1
2 3 x2 + 1 (
x
1 )
2
′
−
=
−
y = y
3 (x2 + 1) (x − 1)
3 (x − 1)2 (x2 + 1) (x − 1)
2 (1) x ̸= 0 においては f ′ (x) = 2x sin x1 − cos x1 であり
h2 sin h1
f (0 + h) − f (0)
1
f ′ (0) = lim
= lim
= lim h sin = 0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
{
2x sin x1 − cos x1 (x ̸= 0)
∴ f ′ (x) =
0
(x = 0)
1
(∵ |h sin | 5 |h| → 0)
h
1
1
= 0 で lim cos は収束しない (∵例えば x = 1/π, 1/2π, 1/3π, · · · を代入し
x→0
x→0
x
x
てみよ)。 lim f ′ (x) ̸= f ′ (0) より f ′ (x) は x = 0 において不連続。
lim 2x sin
x→0
sin, cos の連続性と連続関数どうしの合成や積や商（ただし分母は 0 以外）が連続である
ことから、x ̸= 0 においては連続。
(2) x ̸= 0 においては f ′ (x) = 3x2 sin x1 − x cos x1 であり
h3 sin h1
f (0 + h) − f (0)
1
f ′ (0) = lim
= lim
= lim h2 sin = 0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
{
3x2 sin x1 − x cos x1 (x ̸= 0)
∴ f ′ (x) =
0
(x = 0)
1
(∵ |h2 sin | 5 |h2 | → 0)
h
ここで
|3x2 sin
1
1
1
1
− x cos | 5 |3x2 sin | + |x cos | 5 3|x2 | + |x| → 0
x
x
x
x
(x → 0)
より lim f ′ (x) = f ′ (0) が成立、つまり f ′ (x) は x = 0 においても連続。（x ̸= 0 において
x→0
の連続性は sin, cos の連続性と連続関数どうしの合成や積や商（ただし分母は 0 以外）が
連続であることから明らか) したがって f ′ (x) は (−∞, ∞) において連続。
上記解答を良く読んで理解したうえで, 自分の答を添削して欲しい人は (例えば模範解
答と違う答えだけどこれで正しいか知りたいなど), 答案を作成し来週以降の講義時間後
に提出して下さい.
演習解答 1 について補足
演習解答 1 の 4 の (2) の解答において, ε := min{a, (a2 − 2)/2a} とおいています. しかし,
題意より明らかに a > 0 であり, このとき常に a > (a2 − 2)/2a が成り立つので, 上記のよ
うに min を考えるのは無意味であり, ε := (a2 − 2)/2a とした方が良いとの指摘がありま
した.

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