パワーポイント5

数理統計学
西山
第2章の要点 ①
ゲタの公式
EaX  b  aE X   b
V aX  b  a 2V X 
SDaX  b  a SDX 
合計の公式
E X  Y   E X   E Y 
XとYが独立なら、
V X  Y   V X   V Y 
分散の求め方
2
2








V X EX  EX
【図解】ゲタの公式： Y   X  1
Y
マイナス値をかけても標準偏差はプラス
V Y    1 V X 
 SDY   SDX 
1
2
E[Y]
Y = -X+1
0
E[X]
1
X
練習問題
１．𝐸 𝑋 = 2、𝑉 𝑋 = 4のとき、𝑌 = 3𝑋 + 1とする
と𝑌の平均と標準偏差はいくらになりますか。
２．𝐸 𝑋 = 2、𝑉 𝑋 = 2のとき𝐸 𝑋 2 を求めなさい
３．互いに独立な確率変数𝑋と𝑌について、
𝐸 𝑋 = 1、𝑉 𝑋 = 9、および𝐸 𝑌 = −1、
𝑉 𝑌 = 16がわかっている。このとき、
𝐸 𝑋+𝑌 2
前回
25
ここまで
はいくらになるか。
小テスト（5/8）問１
下のような5個のデータがある。このデータから平均値と
分散、標準偏差を求めると、[①]、[②]、[③]になる。
データ：２、４、６、８、１０
上にある5個のデータのすべてに−2をかけ、次いで10を加
える。すると平均値は[④]、標準偏差は[⑤] に変わる。
①
6
②
8
③
8
④
−2
⑤
2 8
小テスト（5/8）問２
確率変数Xの分布は以下の表のとおりである。
確
率
0 2 9
6 2 3
9 1 9
値
1. P 𝑋 > 5 =[⑥] である。また、P 𝑋 ≤ 6 =[⑦] である。
2. E[X]=[⑧]であり、V[X]=[⑨] である。分散は、まず
E[X2]=[⑩]を求めてから計算するほうが簡単であろう。
⑥
7 9
⑦
8 9
⑧
5
⑨
8
⑩
33
小テスト（5/8）問３
確率変数XについてE 𝑋 = 2、V 𝑋 = 9がわかっ
ている。いまY = X − 2によって変数Yを定義す
ると、E 𝑌 = [⑪] 、SD 𝑌 = [⑫] となる。
⑪
0
⑫
3
小テスト（5/8）問４
正しいサイコロを振って出る目の数をXとおくとE 𝑋 =
[⑬] である。故に、4個の正しいサイコロを同時に振っ
て出る目の数の合計を求めるとすれば、その合計の期待
値は[⑭] である。
⑬
3.5
⑭
14
小テスト（5/8）問５
互いに独立な確率変数𝑋と𝑌について、𝐸 𝑋 = 1、
𝑉 𝑋 = 9、および𝐸 𝑌 = −1、𝑉 𝑌 = 16がわかっている
。このとき、
𝐸 𝑋+𝑌 2
25
は[⑮] になる。
二乗の平均
⑮
1

E X  Y 
2

平均の二乗

分散
EX  Y 2  V X  Y 
0
25
今日はワンポイント：連続型のX
1.
2.
3.
これまでの変数は離散型
連続型の変数が大半を占める
連続型の分布のポイントは「面積で
確率を表す」
身長、体重、血圧、高さ、強さ、速さ、etc
すべて連続型です
Xがとる値の数が増えると・・
確率分布図は、最後には、作れなくなります！！
確率計は常に１
０から１まで任意の値となると
連続型の確率分布
確率密度
１
面積で確率を示す
一様分布
離散型も連続型も本質は同じ
期待値＝値×確率の合計、に違いなし
Ｘの値を０から１までベターっと、値×確率を合計すると・・・
高さ＝１
1
1
幅＝dx
0
0.5
x
1
X
斜線部の面積
はX=xくらいの
確率
 x2  1
EX    x 1dx    
0
 2 0 2
1
 
EX
2
1
 x3  1
  x 1dx    
0
 3 0 3
1
2
 
V X   E X  E X 
2
 SDX  
1
 0.29
12
2
2
1 1
1
   
3  2  12

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