13 ベクトル空間 III

13 ベクトル空間 III
13
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ベクトル空間 III
13.1
ベクトル空間の成分表示
V を K 上の有限次元ベクトル空間とし, その基底 x1 , x2 , . . . , xn をとる. このとき線型写像
)
(
ψx1 ,x2 ,...,xn : K n ∋ t −→ x1 x2 . . . xn t ∈ V
˙法
˙や
˙ス
˙カ
˙ラ
˙ー
˙
(cf. 注意 12.9) は全単射となり, この 1 対 1 対応によって V は数ベクトルの空間 K n と加
˙法
˙の
˙構
˙造
˙も
˙込
˙め
˙ て同一視することができる
˙
. 上の線型写像を x1 , x2 , . . . , xn に関する V の成分表示という.
乗
また, その逆写像 ψx−1
: V → K n を x1 , x2 , . . . , xn に関する座標系といい, ψx−1
(x) = (tj )
1 ,x2 ,...,xn
1 ,x2 ,...,xn
(つまり x = t1 x1 + t2 x2 + · · · + tn xn ) とするとき, tj を x の xj 座標という.
基底の取り替えと成分表示
上で述べたように, 基底を選べば V を数ベクトル空間と同一視することがで
きる. しかし, 基底は一意的に定まる訳ではない. いま y 1 , y 2 , . . . , y n を x1 , x2 , . . . , xn とは別な V の基底
(
) (
)
とする. このとき y 1 y 2 . . . y n = x1 x2 . . . xn P となるような n 次正則行列 P が一意的に存在する
(cf. 問 12.7). また, 命題 11.16 より
(
)
(
)
ψy1 ,y2 ,...,yn (t) = y 1 y 2 . . . y n t = x1 x2 . . . xn (P t) = ψx1 ,x2 ,...,xn (P t)
となることがわかる.
例 13.1 記号は例 11.14 や例 12.12 の通りとするとき, 1, t, t2 に関する R[t]2 の成分表示は
 
c
 0
2

ψ1,t,t2 :  c1 
 −→ c0 + c1 t + c2 t
c2
となる. 他方, a ∈ R とするとき,
(

1
) (
)
1 t + a (t + a)2 = 1 t t2 
0
a
0
0
1
a2


2a 

1
より 1, t + a, (t + a)2 も R[t]2 の基底を与えることがわかる. この基底に関する R[t]2 の成分表示は
 
c
 0
2
2
2

ψ1,t+a,(t+a)2 :  c1 
 −→ c0 + c1 (t + a) + c2 (t + a) = (c0 + ac1 + a c2 ) + (c1 + 2ac2 ) t + c2 t
c2
となる.
13.2
線型写像の行列表示
V, V ′ を K 上の有限次元ベクトル空間とし, f : V → V ′ を線型写像とする. また, V の基底 x1 , x2 , . . . , xn
と V ′ の基底 u1 , u2 , . . . , um をとり, ψx1 ,x2 ,...,xn : K n → V と ψu1 ,u2 ,...,um : K m → V ′ をこれらの基底に
14
線形代数学 B
関する成分表示とする. 各 j に対し, f (xj ) は V ′ に属するから, u1 , u2 , . . . , um の 1 次結合として


a1j



(
)
 a2j 
f (xj ) = u1 u2 . . . um  . 
 .. 


amj
なる形に (一意的に) 表せる. このとき, スカラー t1 , t2 , . . . , tn に対し, f の線型性と命題 11.16 により
f (t1 x1 + t2 x2 + · · · + tn xn ) = t1 f (x1 ) + t2 f (x2 ) + · · · + tn f (xn )

t1

 

)
 t2 
= f (x1 ) f (x2 ) . . . f (xn )  . 
 .. 
 
tn
(
 
t1
a11 a12 . . . a1n




(
)  a21 a22 . . . a2n   t2 
 . 
= u1 u2 . . . um 

 ................... 
. 


. 
am1 am2 . . . amn
tn

となることがわかる. つまり, 最後に現れた (m, n) 型の行列を A と置くと, t ∈ K n に対して
f (ψx1 ,x2 ,...,xn (t)) = ψu1 ,u2 ,...,um (At )
が成り立つ. 従って:
定理 13.2 V, V ′ を K 上の有限次元ベクトル空間, f : V → V ′ を線型写像とし, V の基底 x1 , x2 , . . . , xn
と V ′ の基底 u1 , u2 , . . . , um をとって (m, n) 型の行列 A を
(
) (
)
f (x1 ) f (x2 ) . . . f (xn ) = u1 u2 . . . um A
により定める. このとき, 上の基底によって V, V ′ を数ベクトル空間 K n , K m と同一視すれば, f は A に
対応する線型写像 φA : K n ∋ t → At ∈ K m と同一視される (A を x1 , x2 , . . . , xn と u1 , u2 , . . . , um に関
する f の行列表示という).
(
)
例 13.3 数ベクトル空間の線型写像 f : K n → K m に対しては, f (e1 ) f (e2 ) . . . f (en ) が標準的な基底
に関する行列表示を与える (cf. 定理 5.7).
例 13.4 §12.3 で述べた次元公式 (定理 12.13) の証明より, V の基底 x1 , x2 , . . . , xr , xr+1 , xr+2 , . . . , xr+s
で次の条件をみたすものの存在がわかる:
(a) u1 := f (x1 ), u2 := f (x2 ), . . . , ur := f (xr ) は Im f の基底;
(b) xr+1 , xr+2 , . . . , xr+s は Ker f の基底.
13 ベクトル空間 III
15
従って, u1 , u2 , . . . , ur , ur+1 , ur+2 , . . . , ur+t が V ′ の基底となるように ur+1 , ur+2 , . . . , ur+t をとると,
(
)
(
) (
) (
) Er O
f (x1 ) f (x2 ) . . . f (xr+s ) = u1 u2 . . . ur 0 0 . . . 0 = u1 u2 . . . ur+t
.
O O
最後の行列が x1 , x2 , . . . , xr+s と u1 , u2 , . . . , ur+t に関する f の行列表示を与える.
基底の取り替えと行列表示
上で見たように, V と V ′ の基底を選んで成分表示を固定すれば, 線型写像
f : V → V ′ を行列 A と同一視することができる. いま y 1 , y 2 , . . . , y n を x1 , x2 , . . . , xn とは別な V の
(
)
(
)
基底とし, y 1 y 2 . . . y n = x1 x2 . . . xn P なる n 次正則行列 P をとる. また v 1 , v 2 , . . . , v m を
(
) (
)
u1 , u2 , . . . , um とは別な V ′ の基底とし, v 1 v 2 . . . v m = u1 u2 . . . um Q なる m 次正則行列 Q をと
る. このとき, 命題 11.16 と命題 11.17 より
(
) (
)
(
)
(
)
f (y 1 ) f (y 2 ) . . . f (y n ) = f (x1 ) f (x2 ) . . . f (xn ) P = u1 u2 . . . um AP = v 1 v 2 . . . v m Q−1 AP
となることがわかるから, y 1 , y 2 , . . . , y n と v 1 , v 2 , . . . , v m に関する f の行列表示は Q−1 AP により与えら
れる.
問 13.5 記号は上の通りとするとき, f の xn , . . . , x2 , x1 と um , . . . , u2 , u1 に関する行列表示を求めよ.
13.3
線型変換の行列表示
V = V ′ の場合, すなわち f : V → V が線型変換の場合には, V の基底 x1 , x2 , . . . , xn をとって n 次正
方行列 A を
(
) (
)
f (x1 ) f (x2 ) . . . f (xn ) = x1 x2 . . . xn A
により定めれば, f は A に対応する線型変換 φA : K n → K n と同一視される (A を x1 , x2 , . . . , xn に関す
る f の行列表示という).
例 13.6 α を実数とし, f0 , f1 , . . . , fr ∈ Map(R, R) を fk (x) := xk eαx により定める (cf. 問 12.4). このと
き, f0′ = αf0 と fk′ = kfk−1 + αfk (k > 0) より


α 1
 α 2


( ′ ′
) (
)

.
.
′
.. .. 
f0 f1 . . . fr = f0 f1 . . . fr 
.



α r
α
0
0
従って, 微分 f → f ′ は ⟨f0 , f1 , . . . , fr ⟩ の線型変換を定め, その f0 , f1 , . . . , fr に関する行列表示は右辺の行
列により与えられる.
16
線形代数学 B
例 13.7 記号は例 11.13 の通りとし, e1 , e2 , . . . , en ∈ W を
e1 : 1, 0, 0, . . . , 0, . . . ,
e2 : 0, 1, 0, . . . , 0, . . . ,
...........................
en : 0, 0, . . . , 0, 1, . . .
により定める (第 n + 1 項からは漸化式により定義する) と, これらの数列は W の基底を与える. また
Se1 : 0, 0, . . . , 0, −c0 ,
...,
Se2 : 1, 0, . . . , 0, −c1 ,
...,
................................
Sen : 0, . . . , 0, 1, −cn−1 , . . .
より
Se1 = −c0 en ,
Se2 = e1 − c1 en ,
Sen = en−1 − cn−1 en
...,
がわかるから,



(
) (
)

Se1 Se2 . . . Sen = e1 e2 . . . en 



0

0
1
0
1
..
.
..
0
.
0
−c0 −c1
1



.



. . . −cn−2 −cn−1
右辺の行列が線型変換 W ∋ a → Sa ∈ W の e1 , e2 , . . . , en に関する行列表示を与える.
基底の取り替えと行列表示
線型変換の場合には, 基底の取り替えに対する行列表示の変化は次のように
なる:
定理 13.8 V を K 上の有限次元ベクトル空間, f : V → V を線型変換とし, 基底 x1 , x2 , . . . , xn に関する
(
) (
)
f の行列表示を A とする. また y 1 , y 2 , . . . , y n を別な基底とし, y 1 y 2 . . . y n = x1 x2 . . . xn P なる
n 次正則行列 P をとる. このとき, y 1 , y 2 , . . . , y n に関する f の行列表示は P −1 AP となる.
例 13.9 記号は例 11.14 や例 12.12 の通りとするとき,
ρ : R[t]2 ∋ f (t) = c0 + c1 t + c2 t2 −→ t2 f
(1)
t
は R[t]2 の線型変換で,
= c0 t2 + c1 t + c2 ∈ R[t]2


(
0 0
) (
) (
)
ρ(1) ρ(t) ρ(t2 ) = t2 t 1 = 1 t t2 
0 1
1
1 0
0
最後の行列が 1, t, t2 に関する ρ の行列表示を与える. 他方,
(

0 1 −1
) (
)
t t2 + 1 t 2 − 1 = 1 t t2 
1 0
0 1


0

1

0
.
13 ベクトル空間 III
17
で, 右辺の行列は正則 (行列式は −2) であるから, t, t2 + 1, t2 − 1 も R[t]2 の基底を与える. この基底に関
する ρ の行列表示は

0 1 −1

1 0

0 1
−1 

0 0
 

0
 0 1
1
1 0
1
0


0
1
0
0
1 −1



1 0
0
 

0
 = 0 1
1
1
0

0

0 0 −1
となる.
演習問題
(
)
(
)
13.1 A を (m, n) 型の行列, P = x1 x2 . . . xn を n 次の正則行列, Q = u1 u2 . . . um を m 次の正
則行列とするとき, x1 , x2 , . . . , xn と u1 , u2 , . . . , um に関する φA : K n → K m の行列表示は Q−1 AP とな
ることを示せ.
13.2 行列


2 0 1



A=
 −5 6 1 
−8 1 7
に対応する線型変換 φA : R3 → R3 と W = { t (x, y, z) ∈ R3 ; x + y = z } について, 以下の問いに答えよ:
(1) W は R3 の部分空間であることを示せ. また, x ∈ W ならば φA (x) も W に属することを示せ.
(2)
t
(1, 0, 1), t (0, 1, 1) は W の基底を与えることを示せ.
(3) 線型変換 W ∋ x → φA (x) ∈ W の t (1, 0, 1), t (0, 1, 1) に関する行列表示を求めよ.
13.3 記号は例 11.14 や例 12.12 の通りとするとき, f (t) → f (2t + 1) は R[t]2 の線型変換を与えることを
示せ. また, この線型変換の 1, t, t2 に関する行列表示ならびに 1, t + 1, (t + 1)2 に関する行列表示を求めよ.
13.4 V, V ′ , V ′′ を K 上の有限次元ベクトル空間とする.
(1) f, g : V → V ′ を線型写像とするとき, f や g の行列表示と f + g : V → V ′ の行列表示との関係を述
べよ. また, c ∈ K に対し, f の行列表示と c · f : V → V ′ の行列表示との関係を述べよ (cf. 問題 11.15).
(2) f : V → V ′ と g : V ′′ → V を線型写像とするとき, f や g の行列表示と f ◦ g : V ′′ → V ′ の行列表
示との関係を述べよ.
13.5 α を実数とし, f0 , f1 , . . . , fr ∈ Map(R, R) を fk (x) := xk eαx により定める (cf. 問 12.4, 例 13.6). また
c0 , c1 , . . . , cn−1 を αn +cn−1 αn−1 +· · ·+c1 α +c0 ̸= 0 なる実数とする. このとき, 任意の g ∈ ⟨f0 , f1 , . . . , fr ⟩
に対して
f (n) + cn−1 f (n−1) + · · · + c1 f ′ + c0 f = g
をみたす f ∈ ⟨f0 , f1 , . . . , fr ⟩ がただひとつ存在することを示せ.

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