問題と解答

Advanced Econometrics (Hiroki Kawai)
2014 spring
即レポ問題と解答
1 E(xi)=μ、Var(xi)=σ2 の母集団から得られた無作為標本(x1,x2,..,xn)から計算される母平均
μに対する 2 つの推定量 ma=x1, mb= x  1n の不偏性、一致性を確認せよ。
答え
不偏性：E(ma)=E(x1)=μ、E(mb)=E( x 
1
n
)=μ+ 1n より ma は不偏推定量だが、mb は不偏推
定量ではない
一致性： lim E(ma)=μ lim Var(ma)= lim σ2=σ2 より ma は平均 2 乗収束の条件を満たさ
n 
n 
n 
ないので一致推定量ではない。 lim E(mb)=μ+ lim
n 
n 
1
n
=μ、 lim Var(mb)= lim n =0 より
2
n 
n 
mb は平均 2 乗収束の条件を満たすので一致推定量である。
2 無作為に選んだ n 人の生徒に傘を所持しているか否か(y=1 傘を所持, =0 非所持)を尋ねた
ところ(y1,y2,…,yn)という標本を得た。
(1)確率変数 yi の確率関数 f(yi)=θyi(1－θ)1-yi（ただし母集団の傘の所持率をθとする）とす
るとき尤度関数 L(θ)を求めよ
(2)対数尤度関数 lnL(θ)を求めよ
(3)θの最尤推定量を求めよ
(4)Fisher の情報量 I(θ)から(3)の分散の推定量を求めよ
答え
(1   )
(1) L(θ)=P(y1,y2,..,yn)=P(y1)P(y2)..P(yn)= 
(2) lnL(θ)=Σlnf(yi)＝Σ{yilnθ+(1－yi)ln(1－θ)}=lnθΣyi+ln(1－θ)(n－Σyi)
(3) 1 階の条件 dlnL/dθ=(Σyi)/θ－(n－Σyi)/(1－θ)=0 を解くと
(1－θ) Σyi=θ(n－Σyi)より最尤推定量はθML=Σyi/n= y
(4) H=d2lnL/dθ2=－(Σyi)/θ2－(n－Σyi)/(1－θ)2 より
I(θ)=E(－H)=E[(Σyi)/θ2+(n－Σyi)/(1－θ)2]= (ΣE(yi))/θ2+(n－ΣE(yi))/(1－θ)2
E(yi)=θなので与式=nθ/θ2+n(1－θ)/(1－θ)2=n/θ+n/(1－θ)=  (1n )
y1 y 2 ... yn
Var(θML)＝ I
1
＝
 (1 )
n
 1n y (1  y )
24
n  ( y1 y 2 ... yn )

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