幾何学入門第2回平面曲線の曲率（1）

1
幾何学入門第2回
平面曲線の曲率（１）
名城大学理工学部情報工学科
山本修身
2
幾何学入門で扱う内容
• 幾何学入門では図形の性質について勉強する．
• 図形とは，ある集合（空間）の部分集合のことであ
る．図形自体も空間といえる．
• 「空間」は単に集合と
いうだけではなく，
「距離」とか「位相」
など付加的な性質（構造）を
もつものを考えることが多い．
S
X
S
X
3
ユークリッド空間
• さしあたり，ここで用いる空間はユークリッド空間
である．（nは次元）
実数の集合
R = {(x1 , x2 , · · · , xn ) | xi
n
R}
• ユークリッド空間の2点の間には距離が定義される．
n
d(x, y) =
i=1
|xi
yi |2
x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn )
4
講義の前半のテーマについて
• この講義の前半の部分では，曲線と曲面の微分幾何的性質に
ついて扱う．後半では曲面の位相的な性質について考える．
前半の最初の部分では「滑らかな」曲線について考える．
• 「滑らかな」曲線とは連続で微分可能な曲線のこと．
5
曲線をどのように定義するか？（1）
• 平面（2次元ユークリッド空間）の中の曲線について考える．
• 曲線を定義する一番簡単な方法は，一変数関数
y = f (x)
3
によって定義する方法が考えられる．
2
• しかし，これでは，円環状の曲線などは表現できない．
4
3
1
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
表現可
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
4
5
表現不可
6
曲線をどのように定義するか？（2）
• 陰関数で表示することが考えられる
g(x, y) = 0
•
色々な曲線が定義できそうだが，複雑すぎたり，連
3
結でなかったり，色々なことが起こり解析が困難．
2
1
x +y =1
2
-5
-4
2
-3
-2
-1
0
-1
-2
1
2
3
表現可
4
7
曲線をどのように定義するか？（3）
• 連結でないような曲線も出現する
• これでは扱いづらい
y =x
2
3
x
1.6
A+B
1.2
楕円曲線
0.8
A
-2.4
-2
-1.6
-1.2
0.4
-0.8
-0.4
0
B
-0.4
-0.8
-1.2
-1.6
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
8
曲線をどのように定義するか？（4）
• パラメータ表示．ここではこの方法を採用する． x =
y =
• 個別の関数が連続であれば連結性が保証される．
• しかし，微分可能であっても特異点が存在する場合がある．
f (t)
g(t)
3
1.5
=
=
x
y
-2.4
-2
sin 4
cos 8
-1.6
-1.2
-0.8
2
1
x
y
=
=
cos
sin
0.5
1
-0.4
0
-5
0.4
-4
0.8
1.2
-3
1.6
2
-2
2.4
-1
0
1
2
-0.5
-1
特異点
-1
表現可
3
9
ここでの曲線の定義
2次元ユークリッド平面上の曲線は，
x
y
=
=
f (t)
g(t)
と表されるものであると定義する．ただし，tはパラメ
ターである．ここで，f(t)やg(t)は連続かつ微分可能である
と仮定する．
(x(t), y(t))
(x(t), y(t))
10
ここで注目することがら
• 良く考えれば当たり前だが，実は曲線のパラメータ表
示にはいくらでも違った表現方法がある．以下の2つパ
ラメータ表示は同じ直線を表現している．
x
y
=
=
t
t
x
y
=
=
3t
3t
1
1
• 回転や平行移動させて同じものは同じ曲線であると考
えたい．円はどこに置かれていても円であるし，放物
線もどちらを向いていても放物線である．
4.8
4
3.2
• 座標系は人間が決めた便宜的なものであって，ここで
は曲線そのものの形に注目したい．
2.4
1.6
0.8
-4.8
-4
-3.2
-2.4
-1.6
-0.8
y=x
0
-0.8
0.8
1.6
2.4
2
3.2
4
11
曲線の局所的な性質を調べる (1)
• 0からt0まで動かしたときの移動距離（長さ）を測ってみる．
tがどのような
L=
パラメータか
によって曲線
の表現方法は
dx
dt
i
t0
L(t0 ) =
0
dx
dt
2
+
2
+
dy
dt
dy
dt
2
ti
2
t = t0
dt
色々考えられ
る．これを唯
一にするため
には工夫が必
要である．
t=0
x
y
=
=
x(t)
y(t)
12
曲線の局所的な性質を調べる (2)
• 0からtまでの長さをs(t)とおいて，sでx(t), y(t)を表現する
ことを考える．t = 0の点を決めておけば，長さによって
曲線上の唯一の位置を指定することができる．
x(t)
y(t)
=
=
X(s(t))
Y (s(t))
とおく．
t=0
dX
dX(s(t)) dt
dx(t) dt
=
=
=
ds
dt
ds
dt ds
t
s(t) =
0
dx
dt
2
+
dy
dt
2
dt
ds
=
dt
s(t) = 2
t = 0から曲線に沿った
距離がちょうど２の点
dx(t)
dt
ds
dt
dx
dt
2
+
dy
dt
2
13
曲線の局所的な性質を調べる (3)
• 上の2つの結果を用いて，以下の結果を得る．
ds
=
dt
dx
dt
2
+
dy
dt
dX
=
ds
dY
=
ds
2
dX
=
ds
dx(t)
dt
ds
dt
dx(t)
dt
dx 2
+
dt
dy(t)
dt
dx 2
dt
+
dy
dt
dy
dt
2
2
14
曲線の局所的な性質を調べる (4)
• sによる接線ベクトルの長さを測ると1となる．sを一定の速
度で大きくすると，曲線上の速度はいつも１である．
dx(t)
dt
dX
=
ds
dX
ds
dx 2
dt
2
+
dY
ds
dy
dt
+
2
=
2
dx 2
dt
dx 2
dt
dy(t)
dt
dY
=
ds
+
+
dy
dt
dy
dt
dx 2
dt
dX(s) dY (s)
,
ds
ds
2
2
+
dy
dt
2
=1
(X(s), Y (s))
15
曲線の局所的な性質を調べる (5)
• この長さ1のベクトルの直交方向のベクトルを考える
dX
=
ds
dx(t)
dt
dx 2
dt
+
dy
dt
2
dx 2
dt
+
e1 =
2つベクトルe1とe2の
dy
dt
2
dX(s) dY (s)
,
ds
ds
(X(s), Y (s))
関係について調べて
みる．
dY
=
ds
dy(t)
dt
e2 =
dY (s) dX(s)
,
ds
ds
16
曲線の局所的な性質を調べる (6)
e1 =
dX(s) dY (s)
,
ds
ds
•
(X(s), Y (s))
e2 =
dY (s) dX(s)
,
ds
ds
e1 e1 = 1
２つのベクトルの直交関
係から以下の関係が得ら
れる
e2
e1
e1 e2 = 0
e2 e2 = 1 微分する
微分する
2e2 e2 = 0
微分する
１
e1 e1 + e1 e1 = 2e1 e1 = 0
これより，e1’とe2は平行である．
e1 = e2
e1
２
e2
e2 =
e1 e2 + e1 e2 = 0 = (e2 e2 ) + e1 e2 =
e1
+ e1 e2
e1 = e2
e2 =
17
e1
曲線の局所的な性質を調べる (7)
• すなわち，どのような曲線でも，
e1
e2
=
0
0
e1
e2
が成り立つ．κのことを，この曲線の曲率 (curvature)
と呼ぶ．また 1/κ のことを曲率半径と呼ぶ．
平面曲線の場合には，2つの長さ1のベクトルによっ
て，曲線の性質を記述するが，後に，3次元空間中の
曲線の場合，もう１次元追加して互いに直交する3本
のベクトルによって曲線を定義する．
dx(t)
dt
dX
=
ds
dx 2
dt
dy
dt
+
ds
=
dt
2
dx
dt
2
dy
dt
+
2
曲線の局所的な性質を調べる (7)
• 実際，パラメータ表示の曲率を計算してみる．
d dX(s)
=
ds ds
2
=
d x
dt2
dx 2
dt
dt
ds
+
d dX(s)
dt ds
dy
dt
2
dx 2
dt
2
=
d x
dt2
dy
dt
dx 2
dt
2
+
+
2
dx dy d y
dt dt dt2
dy
dt
2
3/2
dx d2 x
dt dt2
dx
dt
dy
dt
dt
=
ds
2
+
dy d2 y
dt dt2
3/2
dY
ds
2
d
dx y
dt dt2
dx 2
dt
+
dt
ds
曲率
d2 x dy
dt2 dt
dy
dt
2
3/2
18
19
曲線の局所的な性質を調べる (8)
• 結局，曲率の公式は，以下のようになる．
=
2
dx d y
dt dt2
dx 2
dt
=
+
dx
dt
d2 x
dt2
dx 2
dt
+
d2 x dy
dt2 dt
dy
dt
2
3/2
dy
dt
d2 y
dt2
dy
dt
2
3/2
20
放物線の曲率
•
y = x2 の曲率を求めてみる．
x = t, y = t
t = 0 における曲率は2である．
2
すなわち曲率半径は1/2である
4.8
dy
dx
= 1,
= 2t
dt
dt
2
2
d x
d y
= 0, 2 = 2
2
dt
dt
4
3.2
2.4
=
1 2t
0 2
{12
+
3/2
2
(2t) }
1.6
=
2
{1 +
3/2
2
4t }
-4.8
-4
0.8
-3.2
-2.4
-1.6
-0.8
0
-0.8
0.8
1.6
2.4
21
3次曲線の曲率
• 3次曲線 y = x3 の場合，原点を境にして曲率が変化す
る
t = 0 における曲率は0であり，
x = t, y = t3
すなわち平らになっている
1.5
2
2
dx
dy
d
x
d
y
2
= 1,
= 3t , 2 = 0, 2 = 6t
dt
dt
dt
dt
1 3t
0 6t
2
=
{12
+
3/2
2
2
(3t ) }
-2
6t
=
(1 + 9t4 )3/2
1
0.5
-1.5
-1
-0.5
負の曲率
0
-0.5
-1
-1.5
正の曲率
0.5
1
1.5
22
まとめ
平面曲線をパラメータ表示し，さらに，曲線上の距離s(t)
によって表現することにより，曲線を唯一の方法で表現
することができる．この場合，回転や平行移動による影
響はなく，曲線
自体の形のみに
注目している．
すなわち，形が
同じであれば， e2 =
同じ曲線であ
る．
e1 =
dX(s) dY (s)
,
ds
ds
(X(s), Y (s))
dY (s) dX(s)
,
ds
ds
23
第2回課題
1. 以下のようにパラメータ t で表現された曲線の曲率
を計算せよ．
x = t
y =
t
2. 上記の曲線の曲率と曲線y = x2の正の部分の曲率を比較
して，これら2つの曲線が同じ曲線であると言えるか？
説明せよ．
出題：9月23日の講義
提出：9月30日の講義の開始時に集めます

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