微分積分学
1.
試験解答
(4) x = 0 より, f 0 (0) = 2. 与式の両辺を x で微分すると
(H19.5.17)
f 00 (x) − 4f (x) = 0
次の関数 y = f (x) が与えられた微分方程式を満たすように, 定数 a, b を定めよ.
(1)
y = (ax + bx2 )ex ,
y 0 = y + ex
(2)
y = (ax + b) sin x,
y + y 00 = 2 cos x,
特性方程式 t2 − 4 = 0 の解は t = ±2 だから, 一般解は
f 0 (0) = 2
f (x) = c1 e2x + c2 e−2x
¤
¡
0
x
2 x
x
解答
£
¢ (1) y = (a + 2bx)e + (ax + bx )e = e + y より, a = 1, b = 0
(2)
y 0 = a sin x + (ax + b) cos x,
f 0 (0) = 2
y 00 = 2a cos x − (ax + b) sin x = 2a cos x − y
2.
⇒
b=2
⇒
a=1
(3)
4.
yy 0 + x = 0
y
y 0 + = log x
x
¤
¡
£解答 ¢ 下記で c0 は任意定数.
(1) 2yy 0 = −2x ⇒ (y 2 )0 = −2x
0
(2)
2xyy 0 = x2 + y 2
(4)
y 0 = (x − y)2
⇒
(2) y = xz とおくと y = z + xz だから, z 6= ±1 のとき,
2z(z + xz 0 ) = 1 + z 2
⇒
⇒
1
2z
z0 = −
−1
x
log |x(z 2 − 1)| = c1
⇒
x(z − 1) = c2
⇒
y 2 − x2 = c2 x
z2
(c1 : 任意定数)
(c2 = ±ec1 )
2
z = ±1 つまり y = ±x も与式の解で, これは上式で c2 = 0 とおくこと
2
⇒
e4t
3
N (t)
= 4t
= 1 − 4t
4
e +3
e +3
N 0 (t)
e4t
= 4t
= (e2t + 3e−2t )−2
48
(e + 3)2
N 00 (t)
= 4e−2t (e2t + 3e−2t )−3 (3 − e4t )
48
し た が っ て, (0, 1) を 通 る 単 調 増 加 な S 字 カ ー ブ を 描 き, 変 曲 点 は
((log 3)/4, 2) である. (図は略)
(3) ロジスティック方程式は競争関係のある最も簡単なモデルである. ε > 0
は内的自然増加率と呼ばれ, 集団の密度が低いときの 1 個体あたりの増殖
一般解 : y = x +
3.
a
εeεt
=
N
(0)
.
1 + e−εt (a/N (0) − 1)
ε + µN (0)(eεt − 1)
(2) 上式に ε = 4, µ = N (0) = 1 を代入すると
2x
1 + c0 e
1 − c0 e2x
特異解 : y = x − 1
N (t) を t の関数として表せ.
ε = 4, µ = N (0) = 1 について, N (t) のグラフを描け.
N (t) は生物の個体数を表すモデルとして利用される. その理由を述べよ.
N (t) =
xy =
z 6= ±1 も与式の解で, z = 1 は上式で c2 = 0 とおくことにより得られる.
ε
µ
t = 0 を代入すると c = 1 − a/N (0) であるから, 代入して整理すると
(xy)0 = x log x
x
x
c0
(2 log x − 1) + c0 ⇒ y = (2 log x − 1) +
4
4
x
(4) z = y − x とおくと, y 0 = 1 + z 0 だから, z 6= ±1 のとき,
(
)
1
1
0
2
1+z =z
⇒
−
z0 = 2
z−1 z+1
¯
¯
¯z − 1¯
¯ = 2x + c1 (c1 : 任意定数)
⇒ log ¯¯
z + 1¯
z−1
= c2 e2x
(c2 = ±ec1 )
⇒
z+1
1 + c2 e2x
⇒ z=
1 − c2 e2x
⇒
0 < N (0) < a :=
¤
¡
£解答 ¢ (1) 初期条件より N ≡ a, 0 ではないから, (a − N (t))N (t) を移項し
て両辺を t について積分すると
∫
∫
1
dN = (−µ)dt
N (N − a)
(
)
∫
1
1
1
⇒
−
dN = −µt + c0
(c0 : 任意定数)
a N −a N
¯
¯
¯N − a¯
¯ = −εt + c0 a
⇒
log ¯¯
N ¯
a
= 1 − ce−εt
(c(= ±ec0 a ) : 0 以外の任意定数)
⇒
N (t)
により得られる. よって一般解は y 2 − x2 = c0 x
(3) xy 0 + y = x log x
¥
次のロジスティック方程式について以下の問いに答えよ. (ε, µ > 0)
(1)
(2)
(3)
y 2 + x2 = c0
⇒
f (x) = e2x + c2 (e2x + e−2x )
dN
= (ε − µN (t))N (t),
dt
0
( y )2
y
2 y0 = 1 +
x
x
∴
¥
次の微分方程式の解を求めよ.
(1)
f 0 (0) = 2(c1 − c2 ) = 2 より c1 = 1 + c2
率を表す. µ > 0 は種内競争係数と呼ばれ, 密度が増加すると餌や生息可
¥
能領域の不足にともなって生物の生存率, 或は出産率が減少する効果を表
す. N (t) は小さな初期値 N (0) から出発すると, 初めは指数関数的に増
次の微分方程式の解を求めよ.
(1)
y 00 + 2y 0 − 3y = 3 + 5x − 6x2
(3)
y 00 − 2y 0 + 2y = 4 sin x − 3 cos x
加するが, 次第に増加速度が鈍り, やがて一定値 a = ε/µ (環境収容量と
y 00 − 6y 0 + 9y = 2e3x
Z x
(4) f 0 (x) − 4
f (t)dt = 2
(2)
呼ばれる) に収束する S 字カーブを描く. これは, 種内競争があれば個体
数は無限に増えることはないことを表している.
0
¤
¡
£解答 ¢ 下記で c1 , c2 は任意定数.
(1) 補助方程式の特性方程式 t2 + 2t − 3 = 0 の解は t = 1, −3 だから,
補助方程式 y 00 + 2y 0 − 3y = 0 の基本解は
で与えられる. また,
∴
u(x) = ex ,
v(x) = e−3x
y = 2x2 + x + 1 が与式の特殊解だから, 一般解は
y = c1 ex + c2 e−3x + 2x2 + x + 1
(2) 補助方程式の特性方程式 t2 − 6t + 9 = 0 の解は t = 3 だから,
補助方程式 y 00 − 6y 0 + 9y = 0 の基本解は
で与えられる. また,
2 3x
y=x e
∴
u(x) = e3x ,
v(x) = xe3x
5.
死体が発見され, 監察医が午後 11 時 30 分に体温を測定したところ 34.7◦ であっ
た. さらに 1 時間後に測定したところ 34.0◦ であった. 死亡時刻を推定したい.
が与式の特殊解だから, 一般解は
2
y = (x + c1 x + c2 )e
補助方程式 y 00 − 2y 0 + 2y = 0 の基本解は
v(x) = ex cos x で与えられる. また,
θ(t) = “ 時刻 t での体温 ” − “ 時刻 t での室温 ”
3x
(3) 補助方程式の特性方程式 t2 − 2t + 2 = 0 の解は t = 1 ±
√
とおくと, 冷却の法則により, ある正の定数 k について
−1 だから,
u(x) = ex sin x,
y = 2 sin x + cos x が与式の特殊
解だから, 一般解は
∴
¥
y = (c1 sin x + c2 cos x)ex + 2 sin x + cos x
θ0 (t) = −k · θ(t)
が成立する. 室温は 20◦ で一定, 死亡時の体温は 36.1◦ ∼ 36.8◦ であったと仮
定する. ( 以下では, 十分小さい x についての近似式 log(1 + x) ≈ x を用いよ. )
(1)
比例定数 k = k0 × 10−5 とおく. k0 を小数第 2 位まで求めよ.
ただし, 時間は秒単位とする.
(2)
死亡推定時刻を求めよ.
¤
¡
解答
θ(t) = θ(s)e−k(t−s) , s ≤ t.
£
¢ 微分方程式を解くと,
死亡時刻を s, 1 回目の体温測定時刻を t とおくと 2 回目の測定時刻 u は
∫
a = 1 のとき,
∫
u = t + 3600. 死亡時の体温を x (36.1 ≤ x ≤ 36.8) とおくと,
θ(s) = x − 20 ∈ [16.1, 16.8]
1
0
∞
1
θ(t) = 34.7 − 20 = 14.7
∫
θ(u) = 34 − 20 = 14
1
0
1
dx =
xa
{
だから,
θ(t)
14.7
1
=
=1+
θ(u)
14
20
1
1
1
1
25
k=
log(1 + ) ≈
·
=
× 10−5
u−t
20
3600 20
18
∴
k0 = 1.39
ek(u−t) =
3.
次の各問いに答えよ.
(4)
逆双曲線関数
¤
¡
解答
£
¢ (1)
(2)
sinh−1 x
t := cos−1
2
5
3
5
y = cos
−1
sin t
3/4
3
=
=
cos t
5 5
4
x
x
⇔
2.
(− sin y)y 0 = −ex
e
0
y =√
1 − cos2 y
=√
5.
√
x
e
2ex − e2x
=
ex
Z
∞
xp−1 (1 − x)q−1 dx について,
p! · q!
(p + q + 1)!
が成り立つことを示せ.
0
1
dx
xa
∞
e
2
− x
2
dx =
r
π
2
を利用して,
¤0 ¡
£解答 ¢ 自然数 n について,
∫ 1
1
In :=
x− 2 e−x dx,
Γ( 12 )
Z
=
¥
∞
−1
−x
2
x
e
とし, 変数変換 t =
∫
√
2
√
2 −
e
In = √
2/n t
∫ √2n √
2 −
Jn = √
e
t
2
dx
の値を求めよ.
0
∫
n
Jn :=
1/n
¥
(2)
Z
2 − ex
y = sinh−1 x とおくと, x = sinh y = (ey − e−y )/2 より,
√
(ey )2 − 2xey − 1 = 0
⇔
ey = x + x2 + 1
√
⇔
y = log(x + x2 + 1)
図は略
a > 0 とする. 次の積分の値を求めよ
Z 1
1
dx
(1)
a
x
0
¥
1
¤
¡
解答
£
¢ 部分積分法により,
∫ 1
B(p + 1, q + 1) =
xp (1 − x)q dx
∈ [0, π] とおくと,
√
x
Z
]1
∫ 1
xp+1
q
(1 − x)q +
xp+1 (1 − x)q−1 dx
p+1
p
+
1
0
0
q
=
B(p + 2, q)
p+1
= ···
q
q−1
1
=
·
···
B(p + q + 1, 1)
p+1 p+2
p+q
∫ 1
p! · q!
=
xp+q dx
(p + q)! 0
p! · q!
=
(p + q + 1)!
定義域は, x ≤ log 2. x < log 2 について,
(4)
B(p + 1, q + 1) =
∈ [− π2 , π2 ] とおくと,
⇔
xk
eθx n
+
x
k!
n!
=
(1 − e ) ∈ [0, π] とおくと, −1 ≤ 1 − e ≤ 1 より,
cos y = 1 − ex
を示せ.
0
√
21 2
4 21
sin 2t = 2 sin t cos t = 2
· =
5
5
25
t := sin−1
n−1
∑
p, q を自然数とする. ベータ関数 B(p, q) =
を求め, そのグラフを描け.
x = tan t =
(3)
4.
[
(3)
(2)
¥
∞
X
xk
マクローリン展開を利用して,
e =1+
k!
k=1
(誤差項が 0 に収束することを厳密に示すこと.)
の値を求めよ.
3
sin−1 ( ) = tan−1 x
をみたす x を求めよ.
5
−1
x
cos (1 − e )
の定義域と導関数を求めよ.
∞,
a≤1
1
, a>1
a−1
xn
= 0 を示せばよい. 実際, 各実数 x について, |x| ≤ m
n→∞ n!
となる自然数 m をとると
¯ n¯
(
)n−m
¯ x ¯ |x|n
mn
mm
m
n→∞
¯
¯
0≤¯ ¯≤
≤
≤
·
−−−−→ 0
n!
n!
n!
m!
m+1
(H19.7.5)
2
)
5
{
x
¥
sin(2 cos−1
1
dx =
xa
だから, lim
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
(1)
∞
1
k=1
定できる.
1.
∫
1
, a<1
,
1−a
∞,
a≥1
ex = 1 +
したがって, 死亡時刻は午後 8 時 39 分から午後 9 時 36 分までの間と推
試験解答
1
1
dx = lim [log x]c = ∞
c→0+
x
1
n
dx = lim [log x]1 = ∞
n→∞
x
¤
¡
解答
£
¢ マクローリン展開より, ある θ ∈ (0, 1) について,
x − 20
x − 34.7
θ(s)
=
=1+
ek(t−s) =
θ(t)
14.7
14.7
1
x − 34.7
x − 34.7
t − s = log(1 +
) ≈ 3600 · 20 ·
k
14.7
14.7
1.4
14.7 (x = 36.1)
= 3600 · 20 ·
2.1
(x = 36.8)
14.7
{
114 (x = 36.1)
≈ 60 ·
171 (x = 36.8)
微分積分学
∫ 1
1
dx = lim
c→0+ c
x
∫ n
1
dx = lim
n→∞ 1
x
x− 2 e−x dx
1
1
√
2x を行うと,
t2
2
t2
2
√
√ ∫ 2 −
t dt = 2 √
e
2/n
√
2n
t dt =
√ ∫
2 √
e−
t2
2
2
e−
t2
2
dt,
0
t2
2
n→∞
dt −−−−→
2
√
1
Γ( ) = lim (Im + Jn ) = 2
m,n→∞
2
√
√ ∫
dt −−−−→ 2
n→∞
√ ∫ ∞ −
2 √ e
t2
2
dt,
2
∫
∞
e−
x2
2
√
π
¥
0
¤
¡
£解答 ¢ a 6= 1 のとき,
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
[ 1−a ]1
∫ 1
∫ 1
1
x
1
1
dx = lim
dx = lim
=
lim (1 − c1−a )
a
a
c→0+
c→0+
c→0+
x
x
1
−
a
1
−
a
c
0
c
{ 1
, a<1
=
1−a
∞,
a>1
[ 1−a ]n
∫ ∞
∫ n
1
1
x
1
dx = lim
dx = lim
=
lim (n1−a − 1)
a
a
n→∞
n→∞
x
1−a 1
1 − a n→∞
1
1 x
{
∞,
a<1
1
=
, a>1
a−1
1
dx =
微分積分学
1.
Z
∞
試験解答
x2 e−
x2
2
(H19.9.25)
3.
−∞
8
3
3
>
< sin x + sin y ,
2
2
x +y
f (x, y) =
>
:
0
,
n
x2 e−
x2
2
dx,
0
Dn ⊂ [0, n] × [0, n] ⊂ D2n
∫∫
x2 +y 2
x2 y 2 e− 2 dxdy ≤ In2 ≤
Dn
だから,
lim
x y e
2 +y 2
2 2 −x
x y e
2
∫
dxdy
2
r→0+
• cos θ 6= 0, sin θ 6= 0 のとき,
π
2
=
0
n
1 − cos 4θ
dθ
8
n
2
r sin θ cos θ e
0
∫
2
4
dxdy =
Dn
∫
∫
π
2
r5 e−
0
r2
2
dr =
0
−
r2
2
g(r, θ) = r
r drdθ
π [
−(r4 + 4r2 + 8)e−
16
r2
2
]n
m,n→∞
=
0
2.
g(r, θ) = r
lim (Im + In )
g(r, θ) = r
ZZ
I
ZZ
(2)
1
dxdy,
(1 + x + y)2
sin3 (r cos θ)
r→0
cos3 θ −−−→ 0
(r cos θ)3
¥
以上より, f は連続.
=
√
¥
2π
次の積分を計算せよ. ((3),(4) は広義積分としての手順を明記すること.)
(1)
sin3 (r sin θ)
r→0
sin3 θ −−−→ 0
(r sin θ)3
• sin θ = 0 (cos2 θ = 1) のとき,
−n
m,n→∞
sin3 (r cos θ)
sin3 (r sin θ)
r→0
3
cos
θ
+
r
sin3 θ −−−→ 0
(r cos θ)3
(r sin θ)3
• cos θ = 0 (sin2 θ = 1) のとき,
n2
π
=
(8 − (n4 + 4n2 + 8)e− 2 )
16
n→∞ π
−−−−→
2
√
In ≥ 0 より, I∞ = π/2.
∫ m
∫ ∞
x2
x2
x2 e− 2 dx = lim
x2 e− 2 dx
−∞
(x, y) = (0, 0)
sin3 (r cos θ) + sin3 (r sin θ)
r→0+
r2
≡ lim g(r, θ)
D2n
極座標変換 x = r cos θ, y = r sin θ をすると
∫∫
(x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
2 +y 2
2 2 −x
sin t
= 1 を利用する)
t
¤
¡
£解答 ¢ x = r cos θ, y = r sin θ とおくと
Dn = {(x, y) : x, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ n}
∫∫
t→0
dx の値を求めよ.
∫
¤
¡
£解答 ¢ 自然数 n について, In =
とおくと,
次の関数が原点で連続かどうかについて論ぜよ. (lim
4.
f (x, y) = x − 12xy + 8y の極値を求めよ.
3
3
¤
¡
2
2
解答
£
¢ fx = 3(x − 4y), fy = 12(−x + 2y ) だから, 極値を与える点の候補
は (x, y) = (0, 0), (2, 1).
H(x, y) = 6x · 48y − (−12)2 = 144(2xy − 1)
I = [0, 2e − 1] × [0, 2e − 2]
x dxdy,
D = {(x, y) : y 2 ≤ x, x − 2 ≤ y}
y
dxdy,
x
sin(xyπ)
dxdy,
x
D = {(x, y) : x > 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 2}
だから,
H(0, 0) < 0 < H(2, 1). fxx (2, 1) = 12 > 0 より,
D
ZZ
(3)
tan−1
D
ZZ
(4)
¤
¡
解答
£
¢ (1)
D
∫
2e−1
∫
∫
∫
2e−2
2
∫
y+2
与式 =
{
2e−1
−1
y2
∫
[
−1
1+x+y
]y=2e−2
dx
関数 z = f (xy) について, 極座標変換 x = r cos θ, y = r sin θ を行ったとき, 次
1
2
2
zr = r sin 2θf 0
6.
{
Jacobian は
tan−1
Dn
y
dxdy =
x
xθ
cos θ
=
yθ
sin θ
∫
θn
∫
−r sin θ
=r
r cos θ
)
r2
sin 2θ ,
2
zθ = r2 cos 2θf 0
(
r2
sin 2θ
2
)
¥
√
g(x, y) := 2x + 4y + 1, f (x, y) := eg(x,y) について, 以下の問いに答えよ.
(1) g の定義域を図示せよ.
(2) g の偏導関数 gx , gy , gxx , gxy , gyy を求めよ.
(3) f のマクローリン展開を 3 次の項まで求めよ. (剰余項の表記は R4 で良い.)
¤
¡
解答
£
¢ (1) D = {(x, y) : 2x + 4y + 1 ≥ 0}
(2) g 2 = 2x + 4y + 1 より,
ggx = 1, ggy = 2.
gxx = −
1
gx
= − 3,
g2
g
gyy = −2
gy
4
= − 3,
g2
g
gxy = −
gy
2
=− 3
g2
g
(3) fx = f gx = f g −1 , fy = f gy = 2f g −1 より,
だから
fxx = fx g −1 − f g −2 gx = f (g −2 − g −3 ),
fxy = Dx fy = 2Dx fx = 2f (g −2 − g −3 ),
√
2
θr drdθ =
0
(
より,
r2 zr2 + zθ2 = r4 (sin2 2θ + cos2 2θ)(f 0 )2 = r4 (f 0 )2
x = r cos θ, y = r sin θ を行うと領域 Dn に対応する領域 En は
√
En = {(r, θ) : n−1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ θn := tan−1 n}
であり,
xr
yr
( 2
)
¤
¡
r
£解答 ¢ z = f 2 sin 2θ
y=0
とおくと, D1 ⊂ D2 ⊂ · · · ⊂ Dn ⊂ · · · , D = ∪n Dn . 極座標変換
(4)
¥
式が成り立つことを示せ.
}
36
(y + 2)2 − y 4 dx =
5
−1
}
≤ x2 + y 2 ≤ 2, 0 ≤ y ≤ nx
x dxdy =
Dn := (x, y) : n−2
∫∫
f (2, 1) = −8.
r2 zr2 + zθ2 = r4 (f 0 )2
dy
dx =
(1
+
x + y)2
0
0
0
)
∫ 2e−1 (
1
1
=
−
dx
1
+
x
x
+
2e
−1
0
]2e−1
[
x+1
= log
=1
x + 2e − 1 0
(3)
5.
D = {(x, y) : x > 0, xy ≤ 1 ≤ x2 y}
与式 =
(2)
極小値
n−1
θn2 2 − n−2 n→∞ π 2
·
−−−−→
2
2
8
fyy = 2(fy g −1 − f g −2 gy ) = 4f (g −2 − g −3 ),
fxxx = fx (g −2 − g −3 ) + f (−2g −3 + 3g −4 )gx = f (g −3 − 3g −4 + 3g −5 ),
D = {(x, y) : x ≥ 1, x−2 ≤ y ≤ x−1 } だから,
{
}
Dn := (x, y) : 1 ≤ x ≤ n, x−2 ≤ y ≤ x−1
とおくと,
fxxy = Dx fxy = 2Dx fxx = 2f (g −3 − 3g −4 + 3g −5 ),
D1 ⊂ D2 ⊂ · · · ⊂ Dn ⊂ · · · , D = ∪n Dn .
fyyy = 4fy (g −2 − g −3 ) + 4f (−2g −3 + 3g −4 )gy = 8f (g −3 − 3g −4 + 3g −5 )
fxyy = Dx fyy = 4Dx fxx = 4f (g −3 − 3g −4 + 3g −5 ),
∫ n ∫ x−1
sin(xyπ)
sin(xyπ)
dxdy =
dydx
x
x
−2
1
x
Dn
]x−1
∫ n[
∫
cos(xyπ)
1 n 1 + cos(π/x)
=
−
dx =
dx
πx2
π 1
x2
1
x−2
[
]n
(
)
1 1
1
π
1
1
1
π n→∞ 1
=−
+ sin
=
1 − − sin
−−−−→
π x π
x 1
π
n π
n
π
∫∫
x = y = 0 を代入すると g(0,0)=1 より
2f = 2fx = fy = 2e,
fxx = fxy = fyy = 0,
8fxxx = 4fxxy = 2fxyy = fyyy = 8e.
(
x3 + 6x2 y + 12xy 2 + 8y 3
f (x, y) = e 1 + x + 2y +
6
¥
)
+ R4
¥
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