計算練習 3
積分定理
1. 与えられた領域 R を反時計まわりに周回する経路を C とする。次の二つの
方法で積分を計算せよ。(1) 線積分を直接計算する。(2) 平面におけるグリー
ンの定理を用いて領域 R の面積分に直して計算する。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
C [(2y
− sin x)dx − 3 cos xdy]
R は x = 0, y = 0, x = π/2, y = π/2 で囲まれた正方形
dx + (x2 − xy)dy]
R は 0 ≤ x ≤ 1 の範囲で y = x2 と y = x の間の領域
C [y
2
2
C [(x
− y 2)dx + (y − xy)dy]
√
R は 0 ≤ x ≤ 1 の範囲で y = x2 と y = x の間の領域
− x2 y)dx + x2 ydy]
R は原点を中心とする半径 2 の円
C [(xy
2
C [(y
− sin x)dx + cos xdy]
R は x = 0, y = 0, x = π/2, y = π/2 で囲まれた正方形
C (−xydx
+ xydy)
R は (0, 0), (1, 0), (0, 1) を頂点とする三角形
ex (cos πydx + sin πydy)
R は x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 で囲まれた正方形
C
2. 与えられた領域 V の表面を S とする。次の二つの方法で積分を計算せよ。
(1) 面積分を直接計算する。(2) ガウスの定理を用いて領域 V の体積積分に
直して計算する。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2
S (x i
+ xyj + zk) · ndS
V は x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 2, z = 2 で囲まれた立方体
i − yz 2 j + 6z 2 k) · ndS
V は x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1 で囲まれた立方体
S (xy
2
S (4xi
+ 4yj − 2zk) · ndS
V は原点を中心とする半径 2 の球
S (2xi
+ 3yj + 4zk) · ndS
V は原点を中心とする半径 1 の球
3
S (x i
+ y 3j + z 3 k) · ndS
V は原点を中心とする半径 a の球
(6)
(7)
2
S (x i
+ 2xyj + 2yzk) · ndS
V は半径 1, 高さ 1 の円柱で , 中心軸が z 軸の 0 ≤ z ≤ 1
− yzj − y 2 k) · ndS
V は原点を中心とする半径 1 の球の z ≥ 0 の部分
S (2xzi
3. 与えられた面 S のふちを周回する経路を C とする (z 軸正の方向から見た
面を表側とし、C は表側から見て反時計まわりとする)。次の二つの方法で
積分を計算せよ。(1) 線積分を直接計算する。(2) ストークスの定理を用いて
S 上の面積分に直して計算する。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
2
C [(x
+ y)i + (x2 + 2z)j + 2yk] · dr
S は xy 平面上にあり原点を中心とする半径 2 の円
+ (x2 + z 2 )k] · dr
S は原点を中心とする半径 1 の球面の z ≥ 0 の部分
C [yi
C [(y
+ z)i + (z + x)j + (x + y)k] · dr
S は (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) を頂点とする三角形
C [3zi
+ xj + 2yk] · dr
S は (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) を頂点とする三角形
C [(zx
+ zy)i + (xz + xy)j + (yx + yz)k] · dr
S は (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 4) を頂点とする三角形
2
C [(x
+ y − 4)i + 3xy 2 j + (2xz + z 2 )k] · dr
S は z = 4 − x2 − y 2 で与えられる放物面の z ≥ 0 の部分
+ x2 )i + (xyz + x2 y)j + (y 2 z − xz 2 )k] · dr
S は x = 0,y = 0,z = 0,x = 2,y = 2,z = 2 に囲まれた立方体から xy 面
の正方形を取り除いた箱型の面
C [(yz
2
解答
1. (1) π6 − π2 , (2) −1/30, (3) 3/20, (4) 4π, (5) −π(π + 2)/4, (6) 1/3, (7) 2(e −
1)(1 + π)/π,
2. (1) 32, (2) 6, (3) 64π, (4) 12π, (5)
12
πa5 ,
5
(6) 0, (7) π/3,
3. (1) −4π, (2) −π, (3) 0, (4) 3, (5) 28/3, (6) 8π, (7) 8