まとめ

1
ベクトル解析のまとめ
ベクトル解析の問題を解くには以下の事柄を自分の物にしておくとよいでしょう．
基礎の基礎
ナブラ
∇=i
¯
¯ i
¯
A × B = ¯¯ A1
¯ B1
ベクトルの外積
スカラー３重積
∂
∂
∂
+j
+k
∂x
∂y
∂z
j
A2
B2
k
A3
B3
¯
¯
¯
¯ , 特に A × A = 0
¯
¯
A · (B × C) = C · (A × B) = −B · (A × C)
ベクトル３重積
A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C
方向微分係数方向単位ベクトル n
∂ϕ
= (∇ϕ) · n
∂n
基本公式
位置ベクトルの大きさ r =
∇r = (i
p
x2 + y 2 + z 2 の勾配
∂r
∂r
∂r
x
y
z
r
+j
+ k ) = ip
+jp
+ kp
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∂x
∂y
∂z
r
x +y +z
x +y +z
x +y +z
位置ベクトル r = xi + yj + zk の発散
∇ · r = (i ·
位置ベクトル r = xi + yj + zk の回転
∂r
∂r
∂r
+j·
+k·
)=1+1+1=3
∂x
∂y
∂z
¯
¯ i
¯ ∂
∇ × r = ¯¯ ∂x
¯ x
j
∂
∂y
y
¯
k ¯¯
∂ ¯
∂z ¯ = 0
z ¯
スカラー場とベクトル場の積の微分法
スカラー場の勾配
∇rn = i
n
∇(ϕψ) = ψ∇ϕ + ϕ∇ψ
n
n
∂r
∂r
∂r
∂r
∂r
∂r
+j
+k
= i(nrn−1 ) + j(nrn−1 ) + k(nrn−1 ) = nrn−1 ∇r = nrn−2 r
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
ベクトル場の発散
∇ · (ϕA) = (∇ϕ) · A + ϕ∇ · A
∇ · (rn r) = (∇rn ) · r + rn ∇ · r = nrn−1 ∇r · r + 3rn = (n + 3)rn
ベクトル場の回転
∇ × (ϕA) = (∇ϕ) × A + ϕ∇ × A
r
∇ × (rn r) = (∇rn ) × r + rn ∇ × r = nrn−1 × r = nrn−2 r × r = 0
r
2
勾配，発散，回転の合成
勾配の回転
¯
¯ i
¯ ∂
∇ × (∇ϕ) = ¯¯ ∂x
¯ ∂ϕ
∂x
回転の発散
j
∂
∂y
∂ϕ
∂y
¯
k ¯
∂ ¯¯
∂z ¯ = 0
∂ϕ ¯
∂z
¯
¯
¯
∂
∂
∂
∇ · (∇ × A) = (i
+j
+ k ) · ¯¯
∂x
∂y
∂z ¯
∂
∂x
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂y
A1
A2
¯
¯
¯
¯=0
¯
A3 ¯
∂
∂z
∂
∂z
回転の回転
A = A1 i + A2 j + A3 k, ∇ × A = B1 i + B2 j + B3 k, ∇ × (∇ × A) = C1 i + C2 j + C3 k とおくと，
µ
¶
µ
¶
∂B3
∂B2
∂ ∂A2
∂A1
∂A3
∂ ∂A1
C1 =
−
=
−
−
−
∂y
∂z
∂y ∂x
∂y
∂z
∂z
∂x
¶ µ 2
µ 2
¶
2
2
2
∂ A1
∂ A2
∂ A3
∂ A1
∂ A1
∂ 2 A1
∂
=
i
+
j
+
k
−
+
+
=
(∇ · A) − ∇2 A1
∂x2
∂x∂y
∂x∂z
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂x
同様に，C2 =
∂
∂y (∇
· A) − ∇2 A2 , C3 =
∂
∂z (∇
· A) − ∇2 A3 が得られるから，
∂
∂
∂
(∇ · A) + j (∇ · A) + k (∇ · A) − ∇2 (A1 i + A2 j + A3 k)
∂x
∂y
∂z
= ∇(∇ · A) − ∇2 A
∇ × (∇ × A) = i
外積の発散
∂
∂
∂
+j
+
) · (A × B)
∂x
∂y ∂z
∂A
∂B
∂A
∂B
∂A
∂B
=i·(
×B+A×
)+j·(
×B+A×
)+k·(
×B+A×
)
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂A
∂A
∂A
∂B
∂B
∂B
= B · (i ×
+j×
+k×
) − A · (i ·
+j·
+k·
)
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
= B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
∇ · (A × B) = (i
外積の回転
∂
∂
∂
+j
+ k ) × (A × B)
∂x
∂y
∂z
∂B
∂A
∂B
∂A
∂B
∂A
×B+A×
)+j×(
×B+A×
)+k×(
×B+A×
)
=i×(
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂A
∂A
∂A
∂A
∂A
∂A
= (i · B)
− (i ·
)B + (j · B)
− (j ·
)B + (k · B)
− (k ·
)B
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂B
∂B
∂B
∂B
∂B
∂B
+ (i ·
)A − (i · A) ·
+ (j ·
)A − (j · A) ·
+ (k ·
)A − (k · A) ·
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂A
∂A
∂A
∂B
∂B
∂B
= (B1
+ B2
+ B3
) − (∇ · A)B + (∇ · B)A − (A1
+ A2
+ A3
)
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
= (B · ∇)A − (A · ∇)B + (∇ · B)A − (∇ · A)B
∇ × (A × B) = (i
内積の勾配
∇(A · B) = (B · ∇)A + (A · ∇)B + B × (∇ × A) + A × (∇ × B)
3
積分公式
ガウスの発散定理ベクトル場 F (x, y, z) = F1 i + F2 j + F3 k 内において，区分的に滑らかな閉曲面 S で囲まれ
た空間の領域を V とし， S の内部から外部に向かう法線ベクトルを n とすると，
Z
Z
F · ndS =
S
例題 11.1
R
S
∇ · F dV
V
r × n dS = 0 を証明せよ．
解任意の定ベクトル C とスカラー 3 重積の性質を用いると
Z
Z
Z
C · (r × n) dS =
Z
n · (C × r) =
S
S
ここで，C は任意の定ベクトルより，
∇ · (C × r) dV = −
C · (∇ × r) = 0
V
R
S
V
r × n dS = 0.
ストークスの定理 S : z = f (x, y), (x, y) ∈ Ω をいくつかの区分的に滑らかな閉曲線を境界とする向きづけられ
た曲面とする．また，ベクトル場 F は S 上で C 1 級とする．そのとき，
I
Z
F · dr =
∂S
(∇ × F ) · ndS
S
ただし， ∂S は S の境界を表わし，曲線 ∂S 上の線積分の向きは領域 S を左手にみるように ∂S を一周するもの
とする．つまり，法線単位ベクトル n に対して右手の法則に従う．
例題 11.2
解
R
C
R
C
ϕ(∇ψ) · dr = −
(∇ϕψ) · dr =
R
S
R
C
ψ(∇ϕ) · dr を証明せよ．
(∇ × (∇ϕψ)) · ndS = 0. ここで，∇ϕψ = ψ(∇ϕ) + ϕ(∇ψ) より，
Z
Z
ϕ(∇ψ) · dr = −
ψ(∇ϕ) · dr
C
C
スカラー・ポテンシャルベクトル場 F (x, y, z) ∈ C 1 では次の 3 つの条件は同値である．
(1) F = ∇ϕ となるスカラー関数 ϕ(x, y, z) が存在する．(F は保存場)
(2) いたるところ ∇ × F = 0 が成り立つ．(渦なし)
H
(3) 任意の閉曲線 C について C F · dr = 0 が成り立つ (積分経路無関係)．
例題 11.3 xy 平面上で原点 O を中心とし半径 a の円を C とする．ϕ(x, y) = tan−1
y
x
のとき，
R
C
(∇ϕ) · dr を
求めよ．
R
解 F = ∇ϕ より，
(∇ϕ) · dr = 0 は間違い．F = ∇ϕ =
C
1
− xy2
x
y 2i+
y 2j
1+( x
)
1+( x
)
=
−yi+xj
x2 +y 2
は原点で微分可能でない．
C : x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ 2π とパラメター化できる．これより，∇ϕ =
− sin t
a i
dr = (−a sin ti + a cos tj)dt. したがって，
Z
Z
(∇ϕ) · dr =
C
Z
2π
(− sin ti + cos tj) · (− sin t + cos t)dt =
0
2π
dt = 2π
0
+
cos t
a j.
また，
4
例題 11.4 S が円柱面 x2 + y 2 = 9 と平面 z = 0, z = 3 で囲まれている曲面のとき，
R
S
(xi + yj + zk) · ndS を
次の方法で求めよ．
(1) 発散定理を用いて (2) 面積分を直接
(1) A = xi + yj + zk とおくと，∇ · A = 3．よって，発散定理より，
Z
Z
Z
A · ndS =
(∇ · A)dV = 3
dV = 3V = 3(π(3)2 )(3) = 81π
S
V
V
(2) まず，曲面 S は 3 つの面 S1 : x2 + y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 3，S2 : x2 + y 2 ≤ 9, z = 0, S3 : x2 + y 2 ≤ 9, z = 3 で囲
まれている. そこで，それぞれの面での面積分を求めることになる．
p
9 − y 2 ．x > 0 の場合，位置ベクトル
面 S1 において，単位法ベクトルを求める．x2 + y 2 = 9 より，x = ±
r = xi + yj + zk =
p
9 − y 2 i + yj + zk. これより，単位法ベクトル n は
ry × rz
n=
=
|ry × rz |
よって，
(− √ y
9−y 2
i + j) × k
|ry × rz |
p
A · n = ( 9 − y 2 i + yj + zk) ·
p
9 − y 2 i + yj
1
= (9 − y 2 + y 2 ) = 3
3
3
ここで，S1 を yz 平面に正射影すると，dS = |ry × rz |dydz = √
Z
Z
Z
p
9 − y 2 i + yj
=
3
Z
3
dydz
9−y 2
より，
h
y i3
dy = 54 sin−1
= 27π
3 0
9 − y2
S1 ,x>0
y=−3 z=0
−3
R
しかし，これは，円柱面 x2 +y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 3 の x > 0 の部分であるから，積分しなくても S1 ,x>0 A·ndS = 27π
3
A · ndS = 9
3
1
p
dzdy = 27
9 − y2
3
p
1
と求まる．
p
x < 0 の場合，位置ベクトル r = xi + yj + zk = − 9 − y 2 i + yj + zk. これより，単位法ベクトル n は
rz × ry
n=
=
|rz × ry |
よって，
したがって，
k × (√ y
9−y 2
i + j)
|rz × ry |
p
− 9 − y 2 i + yj
=
3
p
p
− 9 − y 2 i + yj
1
2
= (9 − y 2 + y 2 ) = 3
A · n = (− 9 − y i + yj + zk) ·
3
3
Z
Z
A · ndS =
S1 ,x<0
3dS = 3S1 = 3(2π(3))(3)/2 = 27π
S1
面 S2 では n = −k．よって，A · n = −z. しかし，z = 0 より，A · n = 0. したがって，
Z
A · ndS = 0
S2
面 S3 では n = k．よって，A · n = z. ここで，z = 3 より，A · n = 3. したがって，
Z
Z
A · ndS = 3
S3
全てを加えると，
dS = 3S3 = 3(9π) = 27π
S3
Z
A · ndS = 81π
S

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