解答

2014 年 11 月 26 日(水)
第 5 回電磁気学 I 演習
解答
～ベクトルポテンシャル～
1．1-2, 1-3 は非常に重要な結果で，磁場のない場所にベクトルポテンシャルが存在し
うることを示しています．磁場がなくても，ベクトルポテンシャルが荷電粒子に
影響を与えることは，アハラノフとボームによって 1959 年に理論的に予言されま
した．このアハラノフ・ボーム効果は，1986 年に外村によって実験的に証明され
ています．興味がある人は，「外村彰：ゲージ場を見る―電子波が拓くミクロの
世界，講談社，1997．」を読んでください．量子力学では磁場ではなくベクトルポ
テンシャルが基本的な概念として使用されます．
1-1．ベクトルポテンシャル A(r ) を閉曲線 C の周りで線積分すると，

C
A(r )  ds   (  A(r ))  ndS (ストークスの定理より)
S
  Β(r )  ndS
S
したがって，  A(r )  ds   Β(r )  ndS という関係式が得られる．
C
S
1-2．円筒ソレノイド内外の磁束密度は， Β   0 nIe z (内部), 0 (外部) である．
1-3．円筒ソレノイド内外のベクトルポテンシャルは方向を向いているから，z 軸を
中心とする半径 r の円を閉曲線 C として，  A(r )  ds   Β(r )  ndS を計算する．
C
円筒ソレノイド内部( r  R )では，

C
A ds   B z dS
S
2r  A  r 2   0 nI
A 
 0 nIr
2
, Ar  Az  0
円筒ソレノイド外部( r  R )では，

C
A ds   B z dS
S
2r  A  R 2   0 nI
A 
 0 nIR 2
2r
, Ar  Az  0
1-4．円筒ソレノイド内部では，
S
2014 年 11 月 26 日(水)
Br 
A
A A
1 AZ A


 0, B  r  z  0
r 
z
z
z
r
Bz 
1 
1 Ar 1 
1   0 nIr 2
(rA ) 

(rA ) 
(
)   0 nI
r r
r  r r
r r
2
また，円筒ソレノイド外部では，
Br 
A
A A
1 AZ A


 0, B  r  z  0
r 
z
z
z
r
1 
1 Ar 1 
1   0 nIR 2
Bz 
(rA ) 

(rA ) 
(
)0
r r
r  r r
r r
2
となり，1-2 で求めた磁束密度に一致する．
2 ．ベクトルポテンシャルの計算も， r , r ' , dr ' を単位ベクトルで表して，
A(r ) 
0 I
dr '
に代入すると簡単にできます．

4 | r  r ' |
r  re r  ze z , r '  r ' e z , dr '  dr ' e z であるから，
A(r ) 
l
0 I
ez 
l
4
dr '
2
1


r 2  (z  r' ) 2

z l
0 I
ez 
z l
4
1

Z l
0 I
e z ln | t  r 2  t 2 | Z l
4
dt
2
r2  t2
2
1
z  l1  r 2  ( z  l1 ) 2
0 I

e z ln
4
z  l2  r 2  ( z  l2 ) 2
磁束密度 B(r ) は，
Br 
1 AZ A
1 
1 Ar

 0, B z 
(rA ) 
 0,
r 
z
r r
r 
B 
 I 1 
Ar Az
A
z  l1
z  l2

 z  0

 2
z
r
r
4 r  r  ( z  l1 ) 2
r 2  ( z  l2 ) 2




3．
「電磁気学 I 講義の演習問題 3」あるいは「新しい電磁気学 P.109」のような座標系
を用いると，
r  (r sin  )rˆ  (r cos  ) zˆ
r '  a cos(   ' )rˆ  a sin(   ' )e
また，位置ベクトル r ' における微小電流要素 Idr ' は，
2014 年 11 月 26 日(水)
Idr '  Iad '{sin(   ' )rˆ  cos(   ' )e }
したがってベクトルポテンシャルは，
 Ia 2 sin(   ' )rˆ  cos(   ' )e
A 0 
d '
4 0
| r  r '|
と表される．ここで， | r | a だから，
1
1
1 a


 1  sin  cos(   ' )
| r  r '|

r 2  a 2  2ar sin  cos(   ' ) r  r
となる．したがって，      ' とすると，
 0 Ia   2
a
(1  sin  cos  )(sin  e r  cos  e )d


4r
r
2
  2
 Ia
 Ia 2
  0 2 sin  e 
cos 2  d  0 2 sin  e

4r
4r
A
と求まる．
また， Br 
 0 Ia 2 cos 
2r 3
, B 
 0 Ia 2 sin 
4r 3
は明らか．(計算省略)
【補足】用いる単位ベクトルが積分変数に依存しないように，座標系を工夫しなくて
はならないことがあります．この問題はその典型的な例です．新しい電磁気学の
P.109 から P.114 をよく読んで，磁気双極子について理解を深めてください．

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