計算練習 3 積分定理 1. 与えられた領域 R を反時計まわりに周回する経路を C とする。次の二つの 方法で積分を計算せよ。(1) 線積分を直接計算する。(2) 平面におけるグリー ンの定理を用いて領域 R の面積分に直して計算する。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) C [(2y − sin x)dx − 3 cos xdy] R は x = 0, y = 0, x = π/2, y = π/2 で囲まれた正方形 dx + (x2 − xy)dy] R は 0 ≤ x ≤ 1 の範囲で y = x2 と y = x の間の領域 C [y 2 2 C [(x − y 2)dx + (y − xy)dy] √ R は 0 ≤ x ≤ 1 の範囲で y = x2 と y = x の間の領域 − x2 y)dx + x2 ydy] R は原点を中心とする半径 2 の円 C [(xy 2 C [(y − sin x)dx + cos xdy] R は x = 0, y = 0, x = π/2, y = π/2 で囲まれた正方形 C (−xydx + xydy) R は (0, 0), (1, 0), (0, 1) を頂点とする三角形 ex (cos πydx + sin πydy) R は x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 で囲まれた正方形 C 2. 与えられた領域 V の表面を S とする。次の二つの方法で積分を計算せよ。 (1) 面積分を直接計算する。(2) ガウスの定理を用いて領域 V の体積積分に 直して計算する。 (1) (2) (3) (4) (5) 2 S (x i + xyj + zk) · ndS V は x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 2, z = 2 で囲まれた立方体 i − yz 2 j + 6z 2 k) · ndS V は x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1 で囲まれた立方体 S (xy 2 S (4xi + 4yj − 2zk) · ndS V は原点を中心とする半径 2 の球 S (2xi + 3yj + 4zk) · ndS V は原点を中心とする半径 1 の球 3 S (x i + y 3j + z 3 k) · ndS V は原点を中心とする半径 a の球 (6) (7) 2 S (x i + 2xyj + 2yzk) · ndS V は半径 1, 高さ 1 の円柱で , 中心軸が z 軸の 0 ≤ z ≤ 1 − yzj − y 2 k) · ndS V は原点を中心とする半径 1 の球の z ≥ 0 の部分 S (2xzi 3. 与えられた面 S のふちを周回する経路を C とする (z 軸正の方向から見た 面を表側とし 、C は表側から見て反時計まわりとする)。次の二つの方法で 積分を計算せよ。(1) 線積分を直接計算する。(2) ストークスの定理を用いて S 上の面積分に直して計算する。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 2 C [(x + y)i + (x2 + 2z)j + 2yk] · dr S は xy 平面上にあり原点を中心とする半径 2 の円 + (x2 + z 2 )k] · dr S は原点を中心とする半径 1 の球面の z ≥ 0 の部分 C [yi C [(y + z)i + (z + x)j + (x + y)k] · dr S は (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) を頂点とする三角形 C [3zi + xj + 2yk] · dr S は (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) を頂点とする三角形 C [(zx + zy)i + (xz + xy)j + (yx + yz)k] · dr S は (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 4) を頂点とする三角形 2 C [(x + y − 4)i + 3xy 2 j + (2xz + z 2 )k] · dr S は z = 4 − x2 − y 2 で与えられる放物面の z ≥ 0 の部分 + x2 )i + (xyz + x2 y)j + (y 2 z − xz 2 )k] · dr S は x = 0,y = 0,z = 0,x = 2,y = 2,z = 2 に囲まれた立方体から xy 面 の正方形を取り除いた箱型の面 C [(yz 2 解答 1. (1) π6 − π2 , (2) −1/30, (3) 3/20, (4) 4π, (5) −π(π + 2)/4, (6) 1/3, (7) 2(e − 1)(1 + π)/π, 2. (1) 32, (2) 6, (3) 64π, (4) 12π, (5) 12 πa5 , 5 (6) 0, (7) π/3, 3. (1) −4π, (2) −π, (3) 0, (4) 3, (5) 28/3, (6) 8π, (7) 8
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