講演レジュメ

非可換岩澤主予想の証明：代数的側面について
レジュメ
平成 26 年 8 月 24 日
1
Additive theory
(aU )U ∈
∏
U ∈S(G,Z)
Λ(U ab ) とする.
(A1) U, V ∈ S(G, Z) が U ⊆ V かつ [V, V ] ⊆ U を満たすとき,
ab
ab
trVU/[V,V ] (aV ) = prU
U/[V,V ] (aU )
in
Λ(U/[V, V ])
が成立する.
(A2) 任意の U ∈ S(G, Z) と任意の g ∈ G に対し,
agU g−1 = gaU g −1
in
Λ((gU g −1 )ab )
が成立する.
(A3) 任意の U ∈ S(G, Z) に対して,
aU ∈ im (σU )
が成立する. ただし, σU はトレース写像 Λ(U ab ) −→ Λ(U ab ) (f 7→
∑
g∈N (U )/U
は G における U の正規化部分群である.
2
Multiplicative theory
(xU )U ∈
∏
U ∈S(G,Z)
Λ(U ab )× とする.
(M1) U, V ∈ S(G, Z) が U ⊆ V かつ [V, V ] ⊆ U を満たすとき,
ab
ab
V
prU
U/[V,V ] (xU ) = NU/[V,V ] (xV )
in
Λ(U/[V, V ])×
が成立する.
(M2) 任意の U ∈ S(G, Z) 及び任意の g ∈ G に対して,
(
)×
in Λ (gU g −1 )ab
xgU g−1 = gxU g −1
が成立する.
1
gf g −1 ) であり, N (U )
(M3) U, V ∈ S(G, Z) が U ⊆ V かつ (V : U ) = p を満たすとき,
V
verVU (xV ) − xU ∈ im(σU
)
が成立する. ただし, ver : Λ(V ab ) −→ Λ(U ab ) は移送写像 ver : V ab −→ U ab を Zp 線型に拡張したも
∑
V
のであり, σU
はトレース写像 Λ(U ab ) −→ Λ(U ab ) (f 7→ g∈V /U gf g −1 ) である.
(M4) 任意の V ∈ C(G, Z) = {V ∈ S(G, Z) | V /Z : 巡回群 } に対して,
∏
αV (xV ) −
φW (αW (xW )) ∈ p im(σV )
W ∈Pc (V )
が成立する．ここで，記号は以下の通りである:
– Pc (V ) := {W ∈ C(G, Z) | (W : V ) = p}.
– φW : Λ(W ) −→ Λ(W ) は p 乗写像
W −→ W ; g 7−→ g p
を Zp 線型に拡張したものである.
– αV : Λ(V )× −→ 1 + pΛ(V ) ⊆ Λ(V )× は各 f ∈ Λ(V )× に対して

f p /φ (f ) (V = Z のとき);
Z
αV (f ) :=
f p /N V ′ (f ) (V ̸= Z のとき)
V
を対応させる写像である．ここで，V ′ は (V : V ′ ) = p を満たすような唯一つの C(G, Z) の元.
[対数写像 L の構成について]
K1 (Λ(G))
θ
∏
U ∈S(G,Z)
1
L (=log − p
φG ◦log)
Λ(U ab )× _ _ _L _ _ _/
/ Zp [[Conj(G)]]
∏
β
U ∈S(G,Z)
Λ(U ab )
定義 2.1. 各 V ∈ S(G, Z) に対して P (V ) = {W ∈ C(G, Z)\{Z} | Z ⊆ W ′ ⊆ W, (W : W ′ ) = p ⇒ W ′ ⊆ V }
∏
とする. 対数写像 L = (LV )V を, 各 (xU )U ∈ U ∈S(G,Z) Λ(U ab )× に対して
1
LV ((xU )U ) := 2
log
p (V : Z)
(
p2 (V :Z)
φZ (xpZ )
∏
xV
|W/Z|
W ∈P (V ) φW (αW (xW ))
)
∈ Λ(V ab ) ⊗ Qp
を対応させる写像により定める.
補題 2.2. 任意の U ∈ S(G, Z) と任意の f ∈ Zp [[Conj(G)]] に対して,
βU (φG (f )) =
が成立する. ただし, ηW = id −
1
φZ (βZ (f )) +
(U : Z)
1
p
trW
W ′ である.
2
∑
W ∈P (U )
(W : Z)
φW (ηW (βW (f )))
(U : Z)

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