数学的帰納法 「数学的帰納法」という言葉の中にある「帰納」とはどういう意味なのだろうか。 「帰納」は 「演繹」という言葉と対になっている。「帰納」とは多くの例を調べその間になり立つ法則を推 測してきっとこうに違いなという「仮説」を立てることである。 「演繹」は，成立することがわ かっている一般的な命題をもとに， 具体的，個別的な命題を推論によって証明することをいう。 「すべての自然数 の主な型は次の に対し条件 が成立する」 ことを証明する方法としての数学的帰納法 つである。 ［基本型］ が成立する。 が成立するなら より すべての が成立する。 に対して が成立する。 ［応用型 ］ が成立する。 が成立するならば より すべての に対して が成立する。 が成立する。 ［応用型 ］ が成立する。 が成立するなら より すべての に対して が成立する。 が成立する。 いずれの型で証明しようとしているのか，はっきりさせて論述しなければならない。 滋賀医科大（帰納法と極限） 正の整数 について，等式 を考える。 ある正の整数 が上の等式を満たすことを示せ。 が整数でないとき， の はただ一通りに定まることを示せ。 が整数でないとき， の に対して を求めよ。 京都府立医科大（漸化式と数列） 数列 は， かつ漸化式 をみたすものとする。自然数 に対して，実数 を かつ となるように定める。 が成り立つことを証明せよ。 が成り立つことを証明せよ。 を求めよ。 横浜国立大（整数解の有限性） 数列 を で定める 数列 の一般項 を求めよ。 東京工大（整数解の有限性） を自然数， を正の有理数とする。このとき， をみたす自然数の の組 の個数は有限であることを示せ。 上智・理工（数列と余り） 漸化式 で定まる 整 数列 が で割り切れることを証明せよ。 が 正整数 を考える。 で割り切れることを証明せよ。 について， を で割った余りを求めよ。 滋賀医大（複雑な数学的帰納法） とおく。自然数 が成り立つような に対して の個数を とする。 このとき，次のことを証明せよ。 すべての自然数 に対して である。 すべての自然数 に対して である。 横浜市大（複雑な数学的帰納法） 実数 に対して関数 で定義する。ここで実数 を に対して は を越えない最大の整数である。 関数 で定義する。 の範囲を を満たす整数 を 表す。すなわち， は をそれぞれ とするとき，つぎの問いに答えよ。 すべての に対して すべての に対して を証明せよ。 が成り立つことを証明せよ。 が成り立つことを証明せよ。 東大理系（証明の明確化） 関数 を次のように定める。 以下同様に， に対して関数 が定まったならば，関数 を で定める。このとき以下の問いに答えよ。 を実数とする。 を満たす実数 の個数を求めよ。 を実数とする。 を満たす実数 の個数を求めよ。 を 以上の自然数とする。 を満たす実数 の個数は であることを示せ。 京大後期理系（整式の係数と数学的帰納法） は の係数が である の 次式である。 相異なる がすべて有理数であれば， 個の有理数 納法を用いて示せ。 京大文理（ 項数列の論証） すべては でない を満たすとき， 個の実数 ， ， ， に対して の係数はすべて有理数であることを，数学的帰 があり， が成り立つことを証明せよ。 かつ
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