Differential Equations Problem Set 2 Answers July 2014 [1]-[9] 教科書参照 Some Hints!! 問題 10.1 オイラーの微分方程式の問題。変数変換で定数係数の問題に変わるので 9.1, 9.2 のやり方を模倣すればよい。最終的に答えを x の関数として表すことを忘れないように。 (3)(4) においては非斉次方程式を解く際、独立変数が t のままで非斉次方程式を解く方が楽 である。 問題 10.2 は変数係数の斉次方程式の１つの解が見つかったとき独立な解を求めるために は、階数低下法を用いる。 1 2 2 [10] A = 2 2 1 −1 P = 1 0 1 1 1 2 の固有値は 5, −1(重解)。固有ベクトルを求め 2 1 −1 1 0 5 0 0 とすれば P −1 AP = 0 −1 0 。したがって 0 0 −1 e5x 0 0 P −1 exp(xA)P = 0 e−x 0 。 0 0 e−x この式を exp(xA) について解けば exp(xA) = e5x + 2e−x e5x − e−x 1 5x e − e−x 3 e5x − e−x e5x + 2e−x e5x − e−x 1 e5x − e−x e5x − e−x e5x + 2e−x √ 1 1 [11] A = √ √ 2 2 とすれ 2。固有ベクトルを求め P = 2 −2 の固有値は 1 ± 2 1 √ (1+ 2)x e 0 P −1 。よって ば exA = P √ (1− 2)x 0 e √ (1+√2)x √ (1−√2)x (2a + b 2)e + (2a − b 2)e a 1 。定数を取り替 Y = exA = √ √ √ √ 2)x 2)x (1+ (1− 4 (2 2a + 2b)e − (2 2a − 2b)e b えて Y = C1 e(1+ [12] (1) (2) (3) (4) y0 z0 y0 z0 y0 z0 y0 z0 √ √ 1 1 (1− 2)x 2)x √ √ + C2 e 2 − 2 = = = 2 −1 3 −2 1 −2 1 2 1 = y , z y z y 0 + z 0 −2 1 3 2 3 y z ex 5ex , + cos x − sin x , [13] (1) y = C1 ex + C2 e−x , z = C1 ex + 3C2 e−x (2) y = (2C1 cos x − 2C2 sin x)e2x , z = C1 (cos x − sin x)e2x − C2 (cos x + sin x)e2x 5 (3) y = C1 ex + C2 e4x − 3xex + , z = −C1 ex + 2C2 e4x + (−1 + 3x)ex 4 √ √ √ √ √ √ (4) y = 2C1 cos 2x + 2C2 sin 2x + sin x, z = C1 sin 2x − C2 cos 2x 2 [14] (1) 係数行列 A = U1 = 1 0 1 の固有値は 1(重解)。固有空間の基底を求めると −1 2 。特に固有空間は１次元で対角化はできない。そこで上半三角化をする。その 1 ために方程式 AX = X + U1 を解いて 0 1 0 1 1 とすれば P −1 AP = 。よって U2 = 。P = 1 1 1 0 1 n n nxn x x x x x 。数学的帰納法で = 。従って P −1 (xA)P = n 0 x 0 x 0 x ∑ nxn x x e xe n! ∑ xn = x 0 e n! ∑ xn x x n! exp = 0 0 x よって exp(xA) = 1 0 ex xex 1 1 0 ex −1 1 0 = (1 − x)ex xex −xee (x + 1)ex 1 1 したがってレゾルベント行列は M (x; t) = ex−t 一般解は Y = M (x; 0) 定数を取り替えて C1 = (2) 1 − (x − t) x−t −(x − t) 1 + (x − t) a = ex b a + (b − a)x b + (b − a)x b−a a+b , C2 = とすれば 2 2 1 2x − 1 Y = C1 ex + C2 ex 1 2x + 1 (1) では最初に exp(xA) を計算してから、一般解を求めた。ここでは別のアプローチ を試みる。先ず与えられた式を y10 , y20 について解くと y10 = 2y1 + 2y2 , y20 = y1 + 3y2 . 3 消去法で解けば Y= y1 = y2 −2aex aex + + be4x be4x = aex 2 −1 + be4x 1 , 1 ここで a, b は任意の定数である。これからレゾルベント行列を求めるには以下のようにす ればよい。 初期条件 Y(0) = また Y(0) = 1 となる解を求めて 0 0 となる解を求めて 1 − 23 ex + 23 e4x 1 x 3e 2ex + e4x 1 。 = x 4x 3 −e + e x 4x −2e + 2e = 1 。 3 ex + 2e4x 1 4x 2 x 3e + 3e − 13 ex + 13 e4x + 23 e4x これらを並べてレゾルベント行列が得られる。すなわち M (x; 0) = よって 2ex + e4x 1 3 −ex + e4x −2ex + 2e4x ex + 2e4x . 1 2e(x−t) + e4(x−t) −2e(x−t) + 2e4(x−t) M (x; t) = . 3 −e(x−t) + e4(x−t) e(x−t) + 2e4(x−t) 注：係数行列は相異なる固有値を持ち対角化可能であり、先に exp(xA) 計算することも容 易である。 4
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