外測度による測度の構成
定義 X のベキ集合 P(X) から R = R ∪ {±∞} への写像 Γ : P(X) −→ R が次の 4 つ
の条件を満たすとき，(Carathéodory) の外測度 (outer measure) という．
(Γ .1) Γ (A) ≥ 0 for all A ∈ P(X).
(非負性)
(Γ .2) Γ (∅) = 0.
(Γ .3) A ⊂ B =⇒ Γ (A) ≤ Γ (B).
∞
∑
∞
(Γ .4) Γ (∪n=1 An ) ≤
Γ (An ).
(単調性)
(σ-劣加法性)
n=1
補題 Γ を X 上の外測度とする．X の部分集合 E に対して，次の (a) と (b) は同値な
条件である．
(a) Γ (A ∪ B) = Γ (A) + Γ (B) for all A ⊂ E, B ⊂ E c .
(b) Γ (A) = Γ (A ∩ E) + Γ (A ∩ E c ) for all A ⊂ X.
(ただし，E c = X − E である)
証明 任意の A ⊂ X に対して，A ∩ E ⊂ E, A ∩ E c ⊂ E c で A = (A ∩ E) ∪ (A ∩ E c ) だ
から，(a) が成り立てば (b) も成り立つ．逆に，A ⊂ E と B ⊂ E c を任意にとり C = A ∪ B
とおくと，C ∩ E = A で C ∩ E c = B だから，(b) が成り立てば (a) も成り立つ．
記号 上記の同値な条件 (a), (b) を満たす X の部分集合 E を Γ -可測集合 (Γ -measurable
set) という．Γ -可測集合全部の集合を MΓ で表す．
注意 外測度の劣加法性により，条件 (a), (b) はそれぞれ次の条件 (a)′ , (b)′ と同値で
ある．
(a)′ Γ (A ∪ B) ≥ Γ (A) + Γ (B) for all A ⊂ E, B ⊂ E c .
(b)′ Γ (A) ≥ Γ (A ∩ E) + Γ (A ∩ E c ) for all A ⊂ X.
注意 A ∩ E c = A ∩ (X − E) = A − E である．
定理 Γ を X 上の外測度とする．
(1) (X, MΓ , Γ ) は完備な測度空間である．すなわち，MΓ は σ-加法族で，Γ を MΓ に
制限したものは MΓ 上の完備な測度である．
(2) E ⊂ X, Γ (E) = 0 =⇒ E ∈ MΓ .
証明 (i): E ⊂ X が Γ (E) = 0 を満たすとする．任意の A ⊂ X に対して，外測度の単
調性により Γ (A ∩ E) = 0 および Γ (A) ≥ Γ (A ∩ E c ) なので，条件 (b)′ が成り立つ．よっ
て (2) がわかる．
(ii): ∅c = X で外測度の定義より Γ (∅) = 0 だから，∅ および X は (b) の E の条件を
満たす．よって，∅, X ∈ MΓ である．
(iii): 補集合 E c = X − E について (E c )c = E が成り立つことより，E が条件 (b) を満
たせばその補集合 E c も (b) を満たすことは明らか．よって，E ∈ MΓ ならば E c ∈ MΓ
である．
1
(iv): E, F ∈ MΓ とする．E ∪ F = (E ∩ F ) ∪ (E ∩ F c ) ∪ (E c ∩ F ) だから，外測度の
σ-劣加法性により A ⊂ X に対して
Γ (A ∩ (E ∪ F )) ≤ Γ (A ∩ (E ∩ F )) + Γ (A ∩ (E ∩ F c )) + Γ (A ∩ (E c ∩ F ))
が得られる．これを用いると，E, F が条件 (b) を満たすことから，任意の A ⊂ X に対して
Γ (A) = Γ (A ∩ E) + Γ (A ∩ E c )
= Γ ((A ∩ E) ∩ F ) + Γ ((A ∩ E) ∩ F c ) + Γ ((A ∩ E c ) ∩ F ) + Γ ((A ∩ E c ) ∩ F c )
= Γ (A ∩ (E ∩ F )) + Γ (A ∩ (E ∩ F c )) + Γ (A ∩ (E c ∩ F )) + Γ (A ∩ (E c ∩ F c ))
≥ Γ (A ∩ (E ∪ F )) + Γ (A ∩ (E c ∩ F c ))
が成り立つことがわかる．ド・モルガンの法則により (E ∪ F )c = E c ∩ F c だから，これ
は E ∪ F が条件 (b)′ 満たすことを意味する．よって，E ∪ F ∈ MΓ である．
(ii), (iii) と合わせて MΓ が有限加法族であることがわかった．
(v): En ∈ MΓ (n = 1, 2, . . .) が互いに交わらないとする．任意の A ⊂ X と任意に正
の整数 p に対して，
Γ (A) =
p
∑
(
(
)c )
Γ (A ∩ En ) + Γ A ∩ ∪pn=1 En
n=1
が成り立つことを，p に関する帰納法で示す．
p = 1 のときは条件 (b) により成り立つ．
p + 1 のときを
)c
( p+1 p )のとき成り立つと仮定して
( p
c
c
考える．ド・モルガンの法則により ∪n=1 En = ∪n=1 En ∩ Ep+1 だから，
p+1
∑
(
(
)c )
Γ (A ∩ En ) + Γ A ∩ ∪p+1
n=1 En
n=1
=
p
∑
(
(
)c
)
Γ (A ∩ En ) + Γ (A ∩ Ep+1 ) + Γ A ∩ ∪pn=1 En ∩ Ep+1 c
n=1
(
)c
である．En (n = 1, 2, . . .) は互いに交わらないので， ∪pn=1 En ⊃ Ep+1 であること，お
よび Ep+1 ∈ MΓ であることから，この式の右辺は
p
∑
)c
)
)c
(
(
(
Γ (A ∩ En ) + Γ (A ∩ ∪pn=1 En ∩ Ep+1 ) + Γ A ∩ ∪pn=1 En ∩ Ep+1 c
n=1
=
p
∑
(
(
)c )
Γ (A ∩ En ) + Γ A ∩ ∪pn=1 En
= Γ (A)
n=1
に等しい．最後の等号は，p のとき成り立つという帰納法の仮定による．よって p + 1 の
ときも成り立つ．
(vi): En ∈ MΓ (n = 1, 2, . . .) が互いに交わらないとする．
∪∞
n=1 En ∈ MΓ ,
∞
∑
(
E
)
=
Γ (En )
Γ ∪∞
n=1 n
n=1
2
が成り立つことを示す．
(
)c
(
)c
任意の A ⊂ X と任意の正の整数 p に対して， ∪pn=1 En ⊃ ∪∞
に注意する
n=1 En
と，(v) の等式と外測度の単調性により
Γ (A) ≥
p
∑
(
(
)c )
Γ (A ∩ En ) + Γ A ∩ ∪∞
E
n
n=1
n=1
がわかる．この不等式で p → ∞ として，外測度の σ-劣加法性を用いると
Γ (A) ≥
∞
∑
(
(
)c )
Γ (A ∩ En ) + Γ A ∩ ∪∞
E
n
n=1
n=1
(
(
))
(
(
)c )
≥ Γ A ∩ ∪∞
+ Γ A ∩ ∪∞
n=1 En
n=1 En
′
∞
が得られる．よって，∪∞
n=1 En は条件 (b) を満たすので ∪n=1 En ∈ MΓ である．
∞
(v) の等式で A = ∪n=1 En の場合を考えると，A ∩ En = En だから外測度の非負性に
より
p
( ∞
) ∑
Γ ∪n=1 En ≥
Γ (En )
n=1
が得られる．ここで p → ∞ としたものと外測度の σ-劣加法性を比較すれば，
∞
∑
(
Γ ∪∞
E
)
=
Γ (En )
n=1 n
n=1
がわかる．
(vii): Fn ∈ MΓ (n = 1, 2, . . .) ならば ∪∞
n=1 Fn ∈ MΓ であることを示す．E1 = F1 , En =
Fn − (∪n−1
F
)
とおく．
M
が有限加法族であることはすでに示してあるので
En ∈ MΓ
Γ
k=1 k
∞
∞
である．En (n = 1, 2, . . .) は互いに交わらないから，(vi) により ∪n=1 Fn = ∪n=1 En ∈ MΓ
となる．よって，MΓ は σ-加法族である．
(vi) と合わせて，(X, MΓ , Γ ) が測度空間であることがわかった．
(viii): (2) と外測度の単調性により Γ が MΓ において完備であることがわかる．
定理 F を X の部分集合の有限加法族とし，m を F 上の有限加法的測度とする．A ⊂ X
に対して A ⊂ ∪∞
n=1 Fn となるような Fn ∈ F を考える．(A ⊂ X ∈ F だから，このような
Fn (n = 1, 2, .∑
. .) は少なくともひと組存在する．) このような Fn (n = 1, 2, . . .) の組すべ
∞
てについての n=1 m(Fn ) の下限を Γ (A) で表す．
(∗)
Γ (A) = inf
∞
{∑
m(Fn ); Fn ∈ F (n = 1, 2, . . .), A ⊂ ∪∞
n=1 Fn
}
n=1
このとき次の (1), (2), (3), 4) が成り立つ．
(1) Γ は X 上の外測度である．
(2) F ⊂ MΓ .
(3) Γ (E) ≤ m(E) for all E ∈ F .
(4) m が有限加法族 F 上で σ-加法的ならば，Γ (E) = m(E) for all E ∈ F .
3
証明 (1): 有限加法族 F 上の有限加法的測度 m に対して，(∗) で定義した Γ が外測度
の定義の 4 つの条件 (Γ .1), (Γ .2), (Γ .3), (Γ .4) を満たすことを確かめる．(Γ .1) と (Γ .3)
を満たすことは，Γ の定義から明らかである．∅ ∈ F と m(∅) = 0 より Γ (∅) = 0 がわか
るので，(Γ .2) も満たす．
∑
An ⊂ X (n = 1, 2, . . .) とする．これに対して
(Γ .4) が成り立つことを示す． ∞
n=1 Γ (An ) =
∑∞
∞ ならば (Γ .4) は成り立つので， n=1 Γ (An ) < ∞ と仮定する．よって，Γ (An ) < ∞
(n = 1, 2, . . .) である．ε > 0 を任意にひとつとる．Γ の定義により，各 n について
An ⊂
∪∞
k=1 Fn,k ,
∞
∑
m(Fn,k ) < Γ (An ) +
k=1
ε
2n
∞
∞
を満たす Fn,k ∈ F が存在する．∪∞
n=1 An ⊂ ∪n=1 ∪k=1 Fn,k だから，Γ の定義により
Γ (∪∞
n=1 An )
≤
∞ ∑
∞
∑
m(Fn,k ) <
n=1 k=1
∞
∑
(
n=1
ε) ∑
Γ (An ) + ε
Γ (An ) + n =
2
n=1
∞
となる．ε > 0 は任意だから，(Γ .4) が成り立つことがわかる．
(2): E ∈ F とする．任意の A ⊂ X に対して Γ (A) ≥ Γ (A ∩ E) + Γ (A ∩ E c ) が成り
立つことを示す．Γ (A) = ∞ ならばこの不等式は成り立つので，Γ (A) < ∞ と仮定する．
ε > 0 を任意にひとつとる．Γ の定義により，
A ⊂ ∪∞
n=1 Fn ,
∞
∑
m(Fn ) < Γ (A) + ε
n=1
c
∞
c
を満たす Fn ∈ F (n = 1, 2, . . .) が存在する．A∩E ⊂ ∪∞
n=1 (Fn ∩E), A∩E ⊂ ∪n=1 (Fn ∩E )
である．Fn = (Fn ∩ E) ∪ (Fn ∩ E c ) で，Fn ∩ E と Fn ∩ E c は互いに交わらない F に属する
X の部分集合なので，m が F 上の有限加法的測度であることから m(Fn ) = m(Fn ∩ E) +
m(Fn ∩ E c ) となる．よって，Γ の定義より
Γ (A) + ε >
∞
∑
∞
∑
(
)
m(Fn ) =
m(Fn ∩ E) + m(Fn ∩ E c )
n=1
=
n=1
∞
∑
m(Fn ∩ E) +
n=1
∞
∑
m(Fn ∩ E c ) ≥ Γ (A ∩ E) + Γ (A ∩ E c )
n=1
が得られる．ε > 0 は任意だから，求める不等式 Γ (A) ≥ Γ (A ∩ E) + Γ (A ∩ E c ) が成り立
つ．すなわち，E ∈ MΓ である．よって F ⊂ MΓ がわかった．
(3), (4): E ∈ F とする．E ⊂ E だから，Γ の定義より Γ (E) ≤ m(E) であり，(3) が
成り立つ．これより特に，Γ (E) = ∞ ならば明らかに Γ (E) = m(E) なので，Γ (E) < ∞
と仮定して (4) を証明する．ε > 0 を任意にひとつとる．Γ の定義により，
E⊂
∪∞
n=1 Fn ,
∞
∑
m(Fn ) < Γ (E) + ε
n=1
を満たす Fn ∈ F (n = 1, 2, . . .) が存在する．
)
(
C1 = F1 ∩ E,
Cn = Fn − (∪n−1
k=1 Fk ) ∩ E (n = 2, 3, . . .)
4
とおく．C1 , C2 , (. . . は互いに交わらない
F に属する X の部分集合で，Cn ⊂ Fn であり，さ
)
∞
らに ∪∞
C
=
∪
F
∩
E
=
E
だから，
m が F 上で σ-加法的であれば，
n=1 n
n=1 n
m(E) =
∞
∑
m(Cn ) ≤
n=1
∞
∑
m(Fn )
n=1
が成り立つ．上の不等式と合わせると m(E) < Γ (E) + ε が得られるが，ε > 0 は任意だか
ら，m(E) ≤ Γ (E) がわかる．よって，m(E) = Γ (E) である．
定義 (X, F, m) を有限加法的測度空間とする．Xn ∈ F (n = 1, 2, . . .) で，
X1 ⊂ X2 ⊂ · · · ,
∪∞
n=1 Xn = X
m(Xn ) < ∞ (n = 1, 2, . . .),
を満たすものが存在するとき，(X, F, m) は σ-有限であるという．
定義 (X, F, m) を有限加法的測度空間とする．測度空間 (X, M, µ) で F ⊂ M を満た
すものについて，すべての A ∈ F に対して m(A) = µ(A) が成り立つとき，(X, M, µ) を
(X, F, m) の拡張という．
定理 (E. Hopf の拡張定理)
(X, F, m) を有限加法的測度空間とする．
(1) 有限加法族 F 上の有限加法的測度 m が F で生成される σ-加法族 σ[F] 上の測度に
拡張されるための必要十分条件は，m が F 上で σ-加法的であることである．
(2) さらに，(X, F, m) が σ-有限ならばこの拡張は一意的である．
証明 (1): m が σ-加法族 σ[F] 上の測度 µ に拡張されるならば，µ は σ-加法性をもつ
ので，m は F 上で σ-加法的である．
逆に，m が F 上で σ-加法的と仮定する．m から前定理の (∗) により定義される外測度
Γ について，F ⊂ MΓ が成り立つ．MΓ は σ-加法族だから，σ[F] ⊂ MΓ である．m は
F 上で σ-加法的なので，前定理により測度空間 (X, MΓ , Γ ) において Γ (A) = m(A) がす
べての A ∈ F について成り立つ．よって，(X, MΓ , Γ ) は (X, F, m) の拡張である．
(2): (X, F, m) は σ-有限と仮定する．µ を m の σ[F] への拡張であるような測度とし，
m から前定理により定義される外測度 Γ を考える．A ∈ σ[F] をひとつとる．A ⊂ ∪∞
n=1 Fn
(Fn ∈ F ) ならば，測度 µ の単調性と σ-劣加法性により
µ(A) ≤
µ(∪∞
n=1 Fn )
≤
∞
∑
µ(Fn ) =
n=1
∞
∑
m(Fn )
n=1
となる．外測度 Γ の定義により，これは
µ(A) ≤ Γ (A)
であることを意味する．
(X, F, m) が σ-有限だから，Xn ∈ F (n = 1, 2, . . .) で X1 ⊂ X2 ⊂ · · · , m(Xn ) < ∞,
∞
∪n=1 Xn = X を満たすものが存在する．すでに示した不等式 µ(A) ≤ Γ (A) において，A
を Xn − (Xn ∩ A) ∈ σ[F] で置き換えると，
µ(Xn − (Xn ∩ A)) ≤ Γ (Xn − (Xn ∩ A))
5
となる．Xn ∈ F だから，µ(Xn ) = m(Xn ) = Γ (Xn ) < ∞ なので，この不等式および
µ(Xn ) = µ(Xn ∩ A) + µ(Xn − (Xn ∩ A)), Γ (Xn ) = Γ (Xn ∩ A) + Γ (Xn − (Xn ∩ A)) より
µ(Xn ∩ A) ≥ Γ (Xn ∩ A)
∞
がわかる．Xn ∩A ∈ σ[F] ⊂ MΓ , X1 ∩A ⊂ X2 ∩A ⊂ · · · , ∪∞
n=1 (Xn ∩A) = (∪n=1 Xn )∩A =
A だから，µ と Γ が σ[F] 上の測度であることより
lim µ(Xn ∩ A) = µ(∪∞
n=1 (Xn ∩ A)) = µ(A)
n→∞
lim Γ (Xn ∩ A) = Γ (∪∞
n=1 (Xn ∩ A)) = Γ (A)
n→∞
が成り立つ．よって，不等式 µ(Xn ∩ A) ≥ Γ (Xn ∩ A) より
µ(A) ≥ Γ (A)
である．以上により，任意の A ∈ σ[F] に対して µ(A) = Γ (A) が成り立つことがわかった．
定理 (X, F, m) を有限加法的測度空間とし，Γ を m から (∗) により定義される外測度，
MΓ を Γ -可測集合全部の集合とする．このとき F を含む σ-加法族 B について，Γ を B に
制限したものが B 上の測度になるならば B ⊂ MΓ である．
証明 E ∈ B とする．任意の A ⊂ X に対してに対して Γ (A) ≥ Γ (A ∩ E) + Γ (A ∩ E c )
が成り立つことを示す．Γ (A) = ∞ ならばこれは明らかなので，Γ (A) < ∞ と仮定する．
ε > 0 を任意にひとつとる．Γ の定義により，
A⊂
∪∞
n=1 Fn ,
∞
∑
m(Fn ) < Γ (A) + ε
n=1
を満たす Fn ∈ F (n = 1, 2, . . .) が存在する．S = ∪∞
n=1 Fn とおく．S ∈ B である．S は互い
c
に交わらない S ∩ E と S ∩ E の和集合であるが，E ∈ B だから S ∩ E, S ∩ E c ∈ B である．
仮定により Γ を B に制限したものは B 上の測度なので，Γ (S) = Γ (S ∩ E) + Γ (S ∩ E c )
が成り立つ．また，Fn ∈ F だから Γ の定義により Γ (Fn ) ≤ m(Fn ) となることに注意す
る．外測度 Γ の σ-劣加法性，および A ⊂ S に注意して Γ の単調性を用いると，
Γ (A) + ε >
∞
∑
n=1
m(Fn ) ≥
∞
∑
Γ (Fn ) ≥ Γ (S) = Γ (S ∩ E) + Γ (S ∩ E c )
n=1
≥ Γ (A ∩ E) + Γ (A ∩ E c )
がわかる．ε > 0 は任意なので，これは Γ (A) ≥ Γ (A ∩ E) + Γ (A ∩ E c ) を意味する．
6

性質検査 課題

PDF版

以下は、問題のヒントであり問題の解答ではないことを注意しておく。証明

，V [ ¯X] = σ k] E[X E[(Xk − µ)(X ` − µ)] = E[X k X` − µ X k − µ X ` + µ2

フーリエ変換 4 &gt

複素関数練習問題 No.2

幾何学II / 幾何学概論II：レポート問題その3

シュレディンガー作用素 H に対して, [T,H]=

10月22日

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