このPDFファイル．

2014 年計量経済学 II 10/27 講義の補足角田保講義でさらっと流したところを書いておきます．飛ばしたところを理解したい人は参考に．
1 (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
任意の n は 1 以上の整数と，任意の実数 θ について，この式が成り立つことを示す．なお i =
√
−1．
証明: (i)n = 1 のときは，主張は明らかに成り立つ．
(ii)n = k のときに主張が成り立つと仮定する．このとき，
(cos θ + i sin θ)k+1 = [cos(kθ) + i sin(kθ)][cos θ + i sin θ]
= cos(kθ) cos θ + i sin(kθ) cos θ + i cos(kθ) sin θ + i2 sin(kθ) sin θ
= cos(kθ) cos θ − sin(kθ) sin θ + i(sin(kθ) cos θ + cos(kθ) sin θ)
加法定理より
= cos((k + 1)θ) + i sin((k + 1)θ)
となり，n = k + 1 のときに主張が成り立つ．
(i)(ii) より，数学的帰納法から主張が成り立つ．
2 3 項間実数列 xn+2 + bxn+1 + cxn = 0 について
実数列 xn について，x0 , x1 がある実数値として定まっており，
xn+2 + bxn+1 + cxn = 0 (n = 0, 1, 2, · · · )
(1)
が成り立っているとする．講義で以下のように述べた．特性方程式を以下とする．
x2 + bx + c = 0
(2)
(1). b2 − 4c ̸= 0 のとき．特性方程式は異なる 2 解を持つのでそれを α, β とする．xn は適当な実数 A, B で，
xn = Aαn + Bβ n
(3)
と表される．
(2). b2 − 4c = 0 のとき．特性方程式は重解を持つのでそれを α とする．xn は適当な実数 A, B で，
xn = Aαn + Bnαn
(4)
と表される．
ではこれを証明しよう．
(1) の証明: 2 次方程式の解と係数の関係より，b = −(α + β), c = αβ である．これをもとの 3 項間の式
に代入すると，
xn+2 − (α + β)xn+1 + αβxn = 0
これを変形して
xn+2 − αxn+1 = β(xn+1 − αxn )
(5)
この式をよく見ると数列 {xn+1 − αxn } が初項 (x1 − αx0 ) で公比 β の等比数列となっていることがわかる．
その結果
xn+1 − αxn = β n (x1 − αx0 )
(6)
が成り立つ．この式で α, β を入れ替えたものも同様に成り立つので，
xn+1 − βxn = αn (x1 − βx0 )
(7)
α ̸= β なので，(6) 式から (7) 式を辺々引いた後に，両辺 β − α で割ると，
xn = −
x1 − βx0 n x1 − αx0 n
α +
β
β−α
β−α
がいえる．これから主張が成り立つ．
(2) の証明: α = 0 の場合は b = c = 0 となる．よって (1) 式から，n ≥ 2 で xn = 0 となるので，主張は
明らかになりたつ．
次に α ̸= 0 の場合を考える．2 次方程式の解と係数の関係より，b = −2α, c = α2 である．(1) の証明と同
様の変形によって，(6) 式で β に α を代入した式
が成り立つ．両辺 αn で割って，
この式から，k の数列 {
よって
xk+1
αk
−
xk
αk−1
xk+1
αk
−
xk
}
αk−1
xn+1 − αxn = αn (x1 − αx0 )
(8)
xn
xn+1
− n−1 = x1 − αx0
αn
α
(9)
は，任意の整数 k ≥ 0 について x1 − αx0 で一定であることが言える．
を k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 で全て加えると，
xn
x0
− −1 = n(x1 − αx0 )
αn−1
α
これを整理して，
xn = x0 αn + (α−1 x1 − x0 )nαn
がいえるので，これから主張が成り立つ．
(10)

Download Report