2014 年計量経済学 II 10/27 講義の補足 角田 保 講義でさらっと流したところを書いておきます.飛ばしたところを理解したい人は参考に. 1 (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ) 任意の n は 1 以上の整数と,任意の実数 θ について,この式が成り立つことを示す.なお i = √ −1. 証明: (i)n = 1 のときは,主張は明らかに成り立つ. (ii)n = k のときに主張が成り立つと仮定する.このとき, (cos θ + i sin θ)k+1 = [cos(kθ) + i sin(kθ)][cos θ + i sin θ] = cos(kθ) cos θ + i sin(kθ) cos θ + i cos(kθ) sin θ + i2 sin(kθ) sin θ = cos(kθ) cos θ − sin(kθ) sin θ + i(sin(kθ) cos θ + cos(kθ) sin θ) 加法定理より = cos((k + 1)θ) + i sin((k + 1)θ) となり,n = k + 1 のときに主張が成り立つ. (i)(ii) より,数学的帰納法から主張が成り立つ. 2 3 項間実数列 xn+2 + bxn+1 + cxn = 0 について 実数列 xn について,x0 , x1 がある実数値として定まっており, xn+2 + bxn+1 + cxn = 0 (n = 0, 1, 2, · · · ) (1) が成り立っているとする.講義で以下のように述べた.特性方程式を以下とする. x2 + bx + c = 0 (2) (1). b2 − 4c ̸= 0 のとき.特性方程式は異なる 2 解を持つのでそれを α, β とする.xn は適当な実数 A, B で, xn = Aαn + Bβ n (3) と表される. (2). b2 − 4c = 0 のとき.特性方程式は重解を持つのでそれを α とする.xn は適当な実数 A, B で, xn = Aαn + Bnαn (4) と表される. ではこれを証明しよう. (1) の証明: 2 次方程式の解と係数の関係より,b = −(α + β), c = αβ である.これをもとの 3 項間の式 に代入すると, xn+2 − (α + β)xn+1 + αβxn = 0 これを変形して xn+2 − αxn+1 = β(xn+1 − αxn ) (5) この式をよく見ると数列 {xn+1 − αxn } が初項 (x1 − αx0 ) で公比 β の等比数列となっていることがわかる. その結果 xn+1 − αxn = β n (x1 − αx0 ) (6) が成り立つ.この式で α, β を入れ替えたものも同様に成り立つので, xn+1 − βxn = αn (x1 − βx0 ) (7) α ̸= β なので,(6) 式から (7) 式を辺々引いた後に,両辺 β − α で割ると, xn = − x1 − βx0 n x1 − αx0 n α + β β−α β−α がいえる.これから主張が成り立つ. (2) の証明: α = 0 の場合は b = c = 0 となる.よって (1) 式から,n ≥ 2 で xn = 0 となるので,主張は 明らかになりたつ. 次に α ̸= 0 の場合を考える.2 次方程式の解と係数の関係より,b = −2α, c = α2 である.(1) の証明と同 様の変形によって,(6) 式で β に α を代入した式 が成り立つ.両辺 αn で割って, この式から,k の数列 { よって xk+1 αk − xk αk−1 xk+1 αk − xk } αk−1 xn+1 − αxn = αn (x1 − αx0 ) (8) xn xn+1 − n−1 = x1 − αx0 αn α (9) は,任意の整数 k ≥ 0 について x1 − αx0 で一定であることが言える. を k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 で全て加えると, xn x0 − −1 = n(x1 − αx0 ) αn−1 α これを整理して, xn = x0 αn + (α−1 x1 − x0 )nαn がいえるので,これから主張が成り立つ. (10)
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