8. 連立1次方程式 (3)

2014 年 2S 科代数学 1 演習
8. 連立 1 次方程式 (3)
行列の階数と連立方程式・逆行列の計算
$
'
定理 (解の存在条件). 連立 1 次方程式 Ax = b が解をもつための必要十分条件は
(
)
rank A = rank A b .
例連立 1 次方程式
(
の拡大係数行列
1 −1 1 5
1
0 3 4
1
2 7 3


x1 − x2 + x3 = 5
x1
+ 3x3 = 4


x1 + 2x2 + 7x3 = 3
)
を階段行列に変形すると
(
1 0 3
0 1 2
0 0 0
(
)
rank A ̸= rank A b なのでこの連立 1 次方程式は解をもたない.
)
4
−1 .
1
定理 (解の自由度). 未知数が n 個の連立 1 次方程式 Ax = b において,
(
)
(1) Ax = b がただ 1 組の解を持つ ⇐⇒ n = rank A = rank A b
(
)
(2) Ax = b が無数の解を持つ ⇐⇒ n > rank A = rank A b
Ax = b の全ての解を表すのに必要な任意定数の個数は (n − rank A) 個であり, これを連
立 1 次方程式 Ax = b の解の自由度という.
例連立 1 次方程式


+ 3x3
=2
 x1
x1 + x2 + 2x3 + x4 = 2


2x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 5
(
)
(
1
1 0 3 0 2
0
の拡大係数行列 1 1 2 1 2 を簡約な行列に変形すると,
2 1 5 2 5
0
0
3
1 −1
0
0
)
0
2
0 −1 .
1
1
よって解の自由度は 1. これに対応する連立
1 次方程式は


x 1


+ 3x3
x2 − x3
= 2
= −1
x4 = 1
となるので, x3 = t を任意として, x1 = 2 − 3t, x2 = −1 + t, x4 = 1. 即ち,
 
   
−3
x1
2
1
x2  −1
x  =  0  + t  1 
3
0
1
x4
(t : 任意定数).
定理 (行列の基本変形を用いた逆行列の計算). 正方行列 A が正則ならば, 行 (あるいは
列) に関する基本変形だけで A を単位行列に変形することができる. また, 逆も正しい. こ
(
)
(
)
のとき (n, 2n) 型行列 A En は行に関する基本変形を用いて En X の形に変形する
ことができ, X = A−1 となる.
)
(
)
(
)
(
例行列 A =
1 2 1
2 3 1
1 2 2
について,
となるので, A は正則であり, A−1
&
1 2 1 1
2 3 1 0
1 2 2 0
(
−4
2
3 −1
=
−1
0
– 14 –
0 0
行基本変形
1 0 −−−−−−→
0 1
)
1
−1 .
1
1 0 0 −4
2 1
0 1 0
3 −1 −1
0 0 1 −1
0 1
%
問 1. 次の連立 1 次方程式を解け.



 x1 − x2 + 2x3 + 3x4 = 0



 x1 − 4x2 + 3x3 + 4x4 − 3x5 = 0
3x1 + x2 − 6x3 + 3x4 = 1


3x + 5x − 18x − 3x = 2
1
2
3
4


+ 2x3 − x4 + 2x5 = 3

 x1
(3)
2x1 + x2 + 3x3 − x4 − x5 = −1


−x + 3x − 5x + 4x + x = −6
1
2
3
4
5


2x1 + 3x2 − x3 + 3x4 = 0




−x + x + 3x − 7x = 0
1
2
3
4
(5)

5x1 + 7x2 − 3x3 + 8x4 = 0




 3x + 4x − 2x + 5x = 0
1
2
3
4


2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 1




 x + 2x − x + x = 2
1
2
3
4
(7)

2x1 + x2 + x3 + 2x4 = −2




 x + 3x + 2x − 3x = 0
1
2
3
4
x1 − 2x2
+ x4 − 2x5 = 0


−x + 2x + 2x + x + 4x = 0
1
2
3
4
5



 x1 − 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 1
(4) −x1 + 2x2
− x4 − 2x5 = 0


 3x − 6x + x + 4x + 7x = 3
1
2
3
4
5


3x2 + 3x3 − 2x4 = −4




x + x + 2x + 3x = 2
1
2
3
4
(6)

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 1




x + 3x + 4x + 2x = −1
1
2
3
4


2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = 1




3x − x + 2x + 5x = 2
1
2
3
4
(8)

x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 = 0




4x − 3x + x + 6x = 3
1
2
3
4
(1)
(2)
問 2. 次の行列の逆行列を求めよ.
(
)
(
(1)
2 −1
0
2 −1 −1
1
0 −1

1
0
(4) 
0
0

2
1
0
0
1
4
2
1
0
(2)


8
4
2
1
2 0 −1
2 1 −1
)
(
(3)

1
2
3
−2 −3 −4
2
2
4

1
2 −2 0
1
0 2
2
(5) 
2
0
1 2
0 −2
2 1
3
 1
(6) 
2
−1
1
1

(8) 1
1
1
1
1

(9) 2
3
5


2
−3 −5 1
(7) 
1
3 2 −2
0
1 −1 −3
1
1 −1
−1
1
5
1
2
2
2
2
1
2
3
3
3
1
2
3
4
4

1
2

3
4
5


3 −5 −6
2 −3 −1
3 −5 −3
0
2
2
0
1
1
2
3
補充問題
問 3. 基本行列 Pi [k] と Pij [k] の積を用いて Pij を構成せよ.
(
問 4. 行列 A =
a b c
c a b
b c a
)
の階数を定数 a, b, c の値に応じて求めよ.
問 5. n 次正方行列 A に対して, 次の 4 つの命題は同値であることを示せ.
(a) A は正則である.
(b) 任意の n 次列ベクトル b に対して, Ax = b はただ 1 組の解をもつ.
(c) rank A = n.
(d) 適当な基本行列により, A は En に変形される.
– 15 –
)
0
0
1
1
2
0
0
0
1
1

3
0

0
0
1

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