5 月 27 日・28 日 (定理1）行基本変形とは, 基本行列を左から掛けること

5 月 27 日・28 日
(定理１）行基本変形とは, 基本行列を左から掛けることである.
(定理 2）任意の行列 A は, 何回かの行基本変形によって被約階段行列 SA に変
形できる. 従って SA = T A となる正則行列 T が存在する.
（定義 3）行列 A の被約階段行列 SA の非零行の数（=角の数）を A の階数と呼
び, rank A で表す.
（定理 4）連立方程式 Ax = b が解を持つかどうかは，以下のように判定できる.
1. 解を持たない ⇔ rank ( A b ) > rankA (右端に角あり).
2. 解を持つ ⇔ rank ( A b ) = rankA（右端に角なし）.
3. 唯一解を持つ ⇔ rank ( A b ) = rankA = A の列数.
(定理 5） T が正則行列のとき, 次が成り立つ.
行列 A が正則 ⇔ T A が正則
(定理 6）行列 A が正則 ⇔ SA が正則 ⇔ SA = E.
このとき, SA = T A なる正則行列 T が A の逆行列である.
(定理 7）正則行列 = 基本行列の積.
(注意) 行列の行基本変形は必ず,
(
)
(
)
1 2 3 4
−1 0 1 2
A=
→ A1 = P12 (−1)A =
2 2 2 2
2 2 2 2
のように基本行列の積の形で書くこと. この記述方法にこだわる理由は, 行列の
基本的な性質を理解してほしいからである. 基本変形を行うだけなら, 各操作を
どのように記録しても良いのだが, 前期・後期の線型代数を通じて「行列を左か
ら掛けるのは行に関する操作であり, 右から掛けるのは列に関する操作である」
ことを実感しておくのは, とても大切なのだ.
基本行列は, 前回定義した記号を使って書くこと.
問題は，裏にあります.
13
注意：問題 1 および 2 の解き方がわからなかったら, 5 月 20 日・21 日出題の宿題
4 で解説したことを見直してください．教科書 p68-70 および問題集ｐ 32-35 は,
同様の問題を扱っていますが, 参照しないでください. 次回に予定している未習
の内容を含んでいますので, 中途半端な理解を防ぐためです. これらを参照した
回答は×とします.


2 0 2
1. 行列 A =  1 2 −1  について, 以下の問いに答えよ.
0 1 −1
(1) 被約階段行列 SA を書け.
(2) SA をいくつかの基本行列と A の積として表せ.
(3) A をいくつかの基本行列と SA の積として表せ.
(4) A は正則か. 正則なら, A−1 を成分表示せよ.


0 1 2
2. 行列 B =  1 0 3  について, 以下の問いに答えよ.
2 3 0
(1) 被約階段行列 SB を書け.
(2) SB をいくつかの基本行列と B の積として表せ.
(3) B をいくつかの基本行列と SB の積として表せ.
(4) B は正則か. 正則なら, B −1 を成分表示せよ.
3. 定理 AX = E ⇒ XA = E を証明する準備をしよう. （従って、以下の問
題を解くためにこの定理を使ってはいけない.) n 次行列について, 以下を証
明せよ.
(1) B の第 1 行が零行であれば, BX の第 1 行も零行である. （ヒント：
 
⃗x1
.
X =  ..  であるとき, BX の第 1 行を ⃗x1 , · · · , ⃗xn で表してみよ.)
⃗xn
(2) AX = E なら, SA X は正則である. (ヒント: SA と A の関係は？)
(3) AX = E なら, SA X は零行を持たない.
(4) AX = E なら SA は零行を持たない.
14

Download Report