レポート問題（7）（11 月 20 日出題） 1. (1) j 、k 、l を 2、3、4 のうちの相異なるいずれかの数とするとき、(1 j)(k l){(1 k)(j l)}−1 = (1 l)(j k) となることを示せ。 def. (2) ４次交代群 A4 の部分集合 V4 を V4 := { e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} とすると、V4 は A4 の部分群になることを示せ。ただし、e は S4 の単位元とする。V4 をクラインの４元群という。 { [ def. cos θ sin θ − sin θ cos θ ] } θ ∈ R とする。このとき、次の問に答えよ。 2. 実 2 × 2 行列の集合 SO(2) を、SO(2) := [ ] cos θ − sin θ (1) T (θ) := とするとき、θ1 、θ2 ∈ R に対し、T (θ1 )T (θ2 ) = T (θ1 + θ2 ) であることを示せ。 sin θ cos θ { [ ] } a b a, b, c, d ∈ R, (2) SO(2) は、SL (2, R) = の部分群であることを示せ。 c d ad − bc = 1 def. 3. 複素 n × n 行列の部分集合 U(n) を U(n) := { A : 複素 n × n 行列 | A∗ A = En かつ AA∗ = En } とする。ただ def. し、A∗ := t A で、En は n 次の単位行列。このとき、U(n) は、GL(n, C) の部分群であることを示せ。 {[ a b 4. SL(2, Z) の部分集合 Γr を Γr := c d Γr は SL(2, Z) の部分群であることを示せ。 def. ] a, b, d ∈ Z, c ∈ rZ ad − bc = 1 } とする。ただし、r ∈ N とする。このとき、 def. 5. 群 G の部分集合 S に対し、ZG (S) := {x ∈ G | sx = xs (∀s ∈ S)} としたとき、ZG (S) は G の部分群になることを示せ。ZG (S) を G の中心化群という。 • 提出は A4 の市販のレポート用紙を使ってください。ルーズリーフは使用しないこと。 • 必ず全ての問題に解答してください。解答されていない問題がある場合は、添削はしますが評価はしません。 • あくまでも人に読ませるものであることを意識してください。解読できない乱雑なもの、文章が成立していないものは提出したとみなしません。 • 丸写しと認められるレポートは提出したとみなしません。また、ファイルを丸ごとコピーするおそれがあるので、ワープロ等での提出は認めませんので、ご了承ください。 • 11 月 27 日正午までに提出してください。 • このレポートは提出が義務付けられるものではありません。提出した場合には、総合点に加点されます。