Xz(z) = ∑ x(n)z XF (ω) = ∑ x(n)e XF (ω) = Xz(z)|z=ejω = Xz(ejω) A. H

信号処理演習 (2014. 7. 9)
1. z 変換と離散時間フーリエ変換が等しいことを示せ．
A. 離散時間信号 x(n) の z 変換 Xz (z) と離散時間フーリエ変換 XF (ejω ) はそれぞれ
Xz (z) =
XF (ω) =
∞
∑
x(n)z −n
n=−∞
∞
∑
x(n)e−jωn
n=−∞
離散時間フーリエ変換は単位円周上 (z = ejω ) における z 変換と見なすことがで
きるため
XF (ω) = Xz (z)|z=ejω = Xz (ejω )
となる．
2. x(n) → h(n) → y(n) のとき，H(ω) を X(ω) と Y (ω) を用いて表せ．
A.
H(ω) =
Y (ω)
X(ω)
3. |X(ω)| が |X(−ω)| となることを示せ．
A. X(ω) の実部と虚部をそれぞれ XR (ω), XI (ω) とすると
X(ω) =
=
∞
∑
n=−∞
∞
∑
x(n)e−jωn
x(n) cos ωn + j(−
n=−∞
∞
∑
x(n) sin ωn)
n=−∞
= XR (ω) + jXI (ω)
ここで，cos 関数と sin 関数は，それぞれ偶関数，奇関数であるため
XR (−ω) = XR (ω), XI (−ω) = −XI (ω)．したがって，
√
|X(−ω)| = XR2 (−ω) + XI2 (−ω)
√
= XR2 (ω) + (−XI (ω))2
= |X(ω)|
となる．
4. x(0) = 2, x(1) = 1．X(z) と X(ω) を求めよ．
A.
X(z) = 2 + z −1 ,
X(ω) = 2 + e−jω
5. 4. の X(ω) の実部 XR (ω) を求め，−π ≤ ω ≤ π の範囲でそれを図示せよ．
A.
XR (ω) = 2 + cos ω
しがたって，−π ≤ ω ≤ π の範囲で図示すると
4
R
X (ω)
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
ω
図1
1
2
3

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