1 第1講分数関数と逆関数数学Ⅲ 【問題 1】次の空欄を埋めよ．（1

第１講分数関数と逆関数
数学Ⅲ
【問題 1】
次の空欄を埋めよ．
（1）曲線 y = 5 - 3x は，双曲線 y = - 1 を x 軸方向に
x -2
x
，y 軸方向に
したものである．
（2）
（1）の曲線の漸近線は
1
x=
，y=
である．
だけ平行移動
【問題 2】
y = f ( x ) のグラフを x 軸の負の方向へ 1，y 軸の正の方向へ 2 だけ平行移動したら y = 3 のグ
x
ラフに重なった．
（1） f ( x ) を求めよ．
（2） f ( x ) ＞ k を満たす x の範囲を k の値によって分類せよ．
2
【問題 3】
関数 f ( x ) = ax - 4 の逆関数が f -1 ( x ) = 3x + c であるとき，実数 a，b，c の値を求めよ．
x +b
3
-x + 2
第１講分数関数と逆関数解答
数学Ⅲ
【問題 1】
次の空欄を埋めよ．
（1）曲線 y = 5 - 3x は，双曲線 y = - 1 を x 軸方向に
x -2
x
，y 軸方向に
したものである．
（2）
（1）の曲線の漸近線は
x=
，y=
（1） 5 - 3x = -3 - 1
x -2
x -2
よって，関数 y = - 1 のグラフを
x
x 軸方向に 2，y 軸方向に -3
平行移動して得られる
（2）直線 x = 2 ， y = -3
4
である．
だけ平行移動
【問題 2】
y = f ( x ) のグラフを x 軸の負の方向へ 1，y 軸の正の方向へ 2 だけ平行移動したら y = 3 のグ
x
ラフに重なった．
（1） f ( x ) を求めよ．
（2） f ( x ) ＞ k を満たす x の範囲を k の値によって分類せよ．
（1） y = 3 のグラフを x 軸の正の方向へ 1， y 軸の負の方向へ 2
x
だけ平行移動すると， y = f ( x ) のグラフになるから
f (x ) =
3 - 2 = -2x + 5
x -1
x -1
（2）曲線 y = f ( x ) が直線 y = k の上側となるような x の範囲を求めればよい．
右図より， k ¹ -2 のとき曲線と直線は交わる．
交点の x 座標は -2x + 5 = k より
x -1
-2x + 5 = k( x - 1)
x = k + 5 = x 0 とすると，
k+2
右図を参照して
k ＞ - 2 のとき 1 ＜ x ＜ k + 5
k+2
k = -2 のとき 1 ＜ x
k ＜ - 2 のとき x ＜ k + 5 または 1 ＜ x
k+2
5
y
( k＞-2 )
y=k
x0
O
y = f (x)
x0
x
-2
y=k
( k＜-2 )
【問題 3】
関数 f ( x ) = ax - 4 の逆関数が f -1 ( x ) = 3x + c であるとき，実数 a，b，c の値を求めよ．
x +b
y = ax - 4
x +b
-x + 2
…①， ab + 4 ¹ 0
…②
①は②の条件で逆関数をもつ．
①を x について解くと
x=
-by - 4
y-a
x と y を入れかえて y = -bx - 4
x-a
よって， 3x + c = -bx - 4 がつねに成り立つ．
-x + 2
x -a
分母を払って整理すると
(b - 3)x 2 + (3a - 2b - c + 4)x + ac - 8 = 0
x について恒等式であるから
b - 3 = 0，3a - 2b - c + 4 = 0，ac - 8 = 0
b = 3 を他の方程式に代入して
3a - c = 2 ， ac = 8
これを解いて a = 2 ， c = 4
または a = - 4 ， c = -6
3
ここで，a = - 4 ，b = 3 は条件②を満足しない．
3
\ a = 2 ，b = 3，c = 4
6

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