一貫クラス数学Ⅱ3学期考査前演習③（プリント⑪～⑮）

一貫クラス　数学Ⅱ　3学期考査前演習③（プリント⑪～⑮）
(　)組(　)番　名前(　)　１
次の命題の真偽を調べよ。ただし，x，y は実数，m，n は自然数とする。
(1)　x = y ならば x = y である
(2)　x =2 ならば x 2 -5x +6=0 である
(3)　m，n がともに素数ならば m + n は偶数である
(4)　n が 3 の倍数ならば n は 9 の倍数である
２
次の 2 次関数のグラフをかけ。また，その頂点と軸を求めよ。
(1)　y =2x 2 -4x -1　(2)　y =-x 2 -2x +4
３
次の 2 次関数のグラフをかけ。また，その頂点と軸を求めよ。
(1)　y =2x 2 -3x -1　(2)　y =-x 2 - x +2
４
放物線 y =2x 2 +8x +7 を平行移動して放物線 y =2x 2 -10x +14 に重ねるには，どのよ
うに平行移動すればよいか。
５
放物線 y = x 2 -4x を x 軸方向に 2，y 軸方向に -1 だけ平行移動したとき，移動後の放
物線の方程式を求めよ。
６
次の 2 次関数に最大値，最小値があれば，それを求めよ。
(1)　y = x 2 -6x +3　(2)　y =-2x 2 +8x -3
-1-
７
関数 y = x 2 +2x -1 の定義域として次の範囲をとるとき，各場合について，最大値，最
小値があれば，それを求めよ。
(1)　-3 ( x ( 0　(2)　-2< x <1　(3)　0 ( x ( 2
８
関数 f 0 x1 = x 2 -10x + c 0 3 ( x ( 81 の最大値が 10 であるように，定数 c の値を定めよ。
９
放物線 y =2x 2 -4x +3 を，次の直線または点に関して，それぞれ対称移動して得られる
放物線の方程式を求めよ。
(1)　x 軸　(2)　y 軸　(3)　原点
10
放物線 y = x 2 + ax -2 の頂点が直線 y =2x -1 上にあるとき，定数 a の値を求めよ。
11
放物線 y = x 2 + ax + b を原点に関して対称移動し，更に x 軸方向に -1，y 軸方向に 8
だけ平行移動すると，放物線 y =-x 2 +5x +11 が得られるという。このとき，定数 a，
b の値を求めよ。
12
2 次関数 y =-2x 2 +2ax - a の最大値 M を a の関数として表せ。また，この a の関数
M は，a のどんな値に対して最小となるか。
-2-
１
２
s　(1)　偽　(2)　真　(3)　偽　(4)　偽
s　(1)　2 図3 ，頂点は点 0 1， -31 ，軸は直線 x =1
(2)　2 図3 ，頂点は点 0 -1，51 ，軸は直線 x =-1
(1)
y
y
(2)
5
4
1
O
x
-1
３
O
-1
-3
x
3
17
3
，，軸は直線 x =
4
8
4
8
9
1 9
1
(2)　2 図3 ，頂点は点 - ，，軸は直線 x =2
8 2 49
s　(1)　2 図3 ，頂点は点
(1)
y
y
(2)
3
4
O
2
9
4
x
-1
-
17
8
-
1O
2
x
9
5
，y 軸方向に
だけ平行移動すればよい
2
2
４
s　x 軸方向に
５
６
s　y = 0 x - 41 2 -5 [y = x 2 -8x +11]
s　(1)　x =3 のとき最小値 -6，最大値はない
(2)　x =2 のとき最大値 5，最小値はない
７
s　(1)　x =-3 のとき最大値 2，x =-1 のとき最小値 -2
(2)　最大値はない，x =-1 のとき最小値 -2
(3)　x =2 のとき最大値 7，x =0 のとき最小値 -1
８
９
10
11
s　c =26
12
s　順に M =
s　(1)　y =-2x 2 +4x -3　(2)　y =2x 2 +4x +3　(3)　y =-2x 2 -4x -3
s　a =2
s　a =7，b =3
1 2
a - a，a =1
2
-3-
１
(1)　x =1，y =-1 とすると， x =1， y =1 であるから
x = y を満たすが　x ' y
よって，命題｢ x = y ならば x = y である｣は偽である。
(2)　x =2 のとき　2 2 -5 ･ 2+6=0
よって，命題｢x =2 ならば x 2 -5x +6=0 である｣は真である。
(3)　m =2，n =3 とすると，m，n はともに素数であるが　m + n =5　(奇数)
よって，命題｢m，n がともに素数ならば m + n は偶数である｣は偽である。
(4)　n =3 とすると，n は 3 の倍数であるが，9 の倍数でない。
よって，命題｢n が 3 の倍数ならば n は 9 の倍数である｣は偽である。
２
(1)　y =20 x 2 -2x1 -1
2
(1)
2
y
2
=20 x -2x + 1 - 1 1 -1
1
=20 x 2 -2x + 1 21 -2 ･ 1 2 -1
O
=20 x - 11 2 -3
よって，グラフは下に凸の放物線で，
x
-1
頂点は点 0 1， -31 ，軸は直線 x =1
-3
(2)　y =-0 x 2 + 2x1 +4
2
2
(2)
y
2
=-0 x + 2x + 1 - 1 1 +4
5
4
=-0 x 2 + 2x + 1 21 + 1 2 +4
=-0 x + 11 2 +5
よって，グラフは上に凸の放物線で，
頂点は点 0 -1，51 ，軸は直線 x =-1
-1
-4-
O
x
３
3
8 2 x9-1
3
3
3
=2 x - x +
2
4
>
8 9 8 4 9 ?-1
3
3
3
=2 x - x +
-2 ･
2
4
>
8 9 ? 8 4 9 -1
3
17
=2 x 8 49 - 8
(1)　y =2 x 2 -
2
2
y
3
4
2
2
2
(1)
O
2
x
-1
2
-
よって，グラフは下に凸の放物線で，
頂点は点
3
17
17
8
3
8 4 ，- 8 9，軸は直線 x= 4
(2)　y =-0 x 2 + x1 +2
y
(2)
1
=- x + x +
2
1
2
>
8 9 8 9 ?+2
1
1
=- x + x +
>
8 2 9 ?+8 2 9 +2
1
9
=- x +
+
2
8 9 4
2
2
2
2
9
4
2
2
2
2
-
よって，グラフは上に凸の放物線で，
1O
2
x
1 9
1
頂点は点 - ，，軸は直線 x =2 4
2
8
４
9
2
y =2x +8x +7 を平方完成すると
y
2
y =20 x + 21 -1
y =2x 2 -10x +14 を平方完成すると
5
y =2 x 2
8
9
2
3
2
3
+
2
-2
よって，頂点は点 0 -2， -1 1 から
O
5 3
点
，
に移動する。
2 2
8
9
9
2
5
9 3
5
- -21 = ， - 0 -11 = であるか
2 0
2 2
2
ら，x 軸方向に
-1
9
5
，y 軸方向に
だけ平行移動すればよい。
2
2
-5-
5
2
5
2
x
５
x 2 -4x = 0 x - 21 2 -4 であるから，放物線
y
2
y = x -4x の頂点は　点 0 2， -41
2
平行移動により，この点は
4
O
点 0 2+2， -4 -11
x
すなわち，点 0 4， -51 に移動するから，
求める方程式は
-4
-5
y = 0 x - 41 2 -5
-1
2
4 y = x 2 -8x +11 と答えてもよい5
t　y = x 2 -4x の x を x -2，y を y - 0 -11 でおき換えて
y - 0 -11 = 0 x - 21 2 -40 x -21
したがって　y = x 2 -8x +11
６
(1)　y = 0 x 2 -6x + 3 2 - 3 21 +3
y
(1)
2
= 0 x - 31 -6
3
x =3 のとき最小値 -6，
3
最大値はない。
O
x
-6
(2)　y =-20 x 2 -4x1 -3
2
2
(2)
最小
y
2
=-20 x -4x + 2 - 2 1 -3
5
最大
=-20 x 2 -4x + 2 21 +2 ･ 2 2 -3
=-20 x - 21 2 +5
x =2 のとき最大値 5，
O
最小値はない。
-3
-6-
2
x
７
関数 y = x 2 +2x -1 すなわち y = 0 x + 11 2 -2 のグラフは下に凸の放物線であり，その
頂点は　点 0 -1， -21 ，軸は　直線 x =-1 である。
f 0 x1 = x 2 +2x -1 とおくと　f 0 -31 =2，f 0 -21 =-1，f 0 01 =-1，f 0 11 =2，f 0 21 =7
各定義域での関数のグラフは，次の図の実線部分のようになる。
(1)　値域は -2 ( y ( 2 であり
y
x =-3 のとき最大値 2
2
最大
x =-1 のとき最小値 -2
-1
-3
x
O
-1
-2
最小
(2)　値域は -2 ( y <2 であり
y
最大値はない
2
x =-1 のとき最小値 -2
-2 -1
1 x
O
-1
最小
(3)　値域は -1 ( y ( 7 であり
y
x =2 のとき最大値 7
7
-2
最大
x =0 のとき最小値 -1
-1
最小
-7-
2
O -1
-2
x
８
f 0 x1 = 0 x 2 -10x1 + c
f 0 x1
c -16
最大値
(10)
= 0 x 2 -10x + 5 2 - 5 21 + c
= 0 x - 51 2 + c -25
よって，与えられた関数のグラフは，右図の
c -21
実線部分であり，この関数は
x =8 のとき最大値
f 0 81 = 0 8 - 51 2 + c -25= c -16
c -25
最小値
をとる。
O
最大値が 10 となるための条件は
3
5
7 8x
c -16=10
よって　c =26
９
(1)　-y =2x 2 -4x +3
y
2
すなわち　y =-2x +4x -3
(2)　y =20 -x1 2 -40 -x1 +3
すなわち　y =2x 2 +4x +3
(2) O
(3)
(3)　-y =20 -x 1 2 -40 -x 1 +3
y =2x 2 -4x +3
(1)
x
2
すなわち　y =-2x -4x -3
t　放物線 y =2x 2 -4x +3 すなわち
y =20 x - 11 2 +1 は頂点が点 (1，1) で下に凸
である。
(1)　x 軸に関して対称移動すると，頂点は点 (1，-1) で上に凸の放物線となるから
y =-20 x - 11 2 -1　(y =-2x 2 +4x -3 でもよい)
(2)　y 軸に関して対称移動すると，頂点は点 (-1，1) で下に凸の放物線となるから
y =20 x + 11 2 +1　(y =2x 2 +4x +3 でもよい)
(3)　原点に関して対称移動すると，頂点は点 (-1，-1) で上に凸の放物線となるから
y =-20 x + 11 2 -1　(y =-2x 2 -4x -3 でもよい)
10
y = x 2 + ax -2 = x 2 + ax +
8
= x +
a
2
9
2
-
8 9 8 9 -2
a
2
2
a
2
-
2
a2
-2
4
8
よって，放物線の頂点は　点 -
9
a
a2
，-2
2
4
2
頂点が直線 y =2x -1 上にあるから　-
8 9
a
a
-2=2 -1
4
2
2
整理すると　a -4a +4=0 ゆえに　0 a - 2 1 2 =0
したがって　a =2
-8-
11
放物線 y = x 2 + ax + b を原点に関して対称移動した放物線の方程式は
-y = 0 -x1 2 + a0 -x1 + b　すなわち　y =-x 2 + ax-b
また，この放物線を更に x 軸方向に -1，y 軸方向に 8 だけ平行移動した放物線の方程式
は　y -8=-0 x + 1 1 2 + a0 x +1 1 - b　すなわち　y =-x 2 + 0 a -2 1x + a - b +7
これが y =-x 2 +5x +11 と一致するから　a -2=5 ，a-b +7=11
これを解いて　a =7，b =3
t　放物線 y =-x 2 +5x +11 を x 軸方向に 1，y 軸方向に -8 だけ平行移動した放物
線の方程式は
y +8=-0 x - 1 1 2 +50 x -1 1 +11 すなわち　y =-x 2 +7x -3
この放物線を，更に原点に関して対称移動した放物線の方程式は
-y =-0 -x1 2 +70 -x1 -3　すなわち　y = x 2 +7x +3
これが y = x 2 + ax + b と一致するから　a =7，b =3
12
>
y =-2x 2 +2ax - a =-2 x 2 -2 ･
8
=-2 x -
a
2
1
8 9 ? 8 9 -a
a
a
x+
2
2
2
+2 ･
2
9 + 2 a -a
2
2
この関数のグラフは上に凸の放物線であるから，y は x =
とる。　すなわち　M =
また　M =
a
2
1 2
a -a
2
1 2
1
1
1
a -2a + 1 21 - ･ 1 2 = 0 a - 1 1 2 20
2
2
2
したがって，a の関数 M が最小となる a の値は　a =1
-9-
a
1
のとき最大値 a 2 - a を
2
2

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