2年特進文系数学Ⅱ3学期考査前演習②

２年　特進文系　数学Ⅱ】３学期考査前演習②
(　)組(　)番　名前(　)　１
次の 2 次関数のグラフをかけ。また，その頂点と軸を求めよ。
(1)　y =2x 2 -4x -1　(2)　y =-x 2 -2x +4
２
(1)　放物線 y = x 2 を，x 軸方向に -1，y 軸方向に 2 だけ平行移動して得られる放物線
の方程式を求めよ。
(2)　放物線 y =-2x 2 +1 を，原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求め
よ。
３
放物線 y = x 2 +2x -1 …… ① の頂点を P とする。次の問いに答えよ。
(1)　x 軸に関して点 P と対称な点 Q の座標を求めよ。
(2)　この放物線と x 軸に関して対称な放物線の方程式を求めよ。
４
次の関数に最大値，最小値があれば，それを求めよ。
(1)　y = x 2 -2x -3 0 -4 ( x ( 01 (2)　y =2x 2 -4x -6 0 0 ( x ( 31
(3)　y =-x 2 -4x +1 0 0 ( x ( 21 (4)　y = x 2 -4x +3 0 0< x <31
５
(1)　2 次関数 y = x 2 -4x +5 のグラフの頂点の座標は 0
ア
，
イ
1 である。
(2)　2 次関数 y = x 2 +2x +10 のグラフを x 軸方向に 2，y 軸方向に -3 だけ平行移動して
得られるグラフの方程式は y = x 2 -
ウ
x+
エ
である。
(3)　2 次関数 y =2x 2-3x -1 のグラフを原点に関して対称移動して得られるグラフの方
程式は y = オカ x 2 -
キ
x+
ク
(4)　2 次関数 y =2x 2-4x +3 は，x =
である。
ケ
のとき最小値
(5)　2 次方程式 3x 2 -3x -1=0 を解くと x =
-1-
サ
コ
をとる。
$ U シス
6
である。
１
s　(1)　2 図3 ，頂点は点 0 1， -31 ，軸は直線 x =1
(2)　2 図3 ，頂点は点 0 -1，51 ，軸は直線 x =-1
(1)
y
y
(2)
5
4
1
O
x
-1
-1
-3
２
３
４
O
x
s　(1)　y = x 2 +2x +3　(2)　y =2x 2 -1
s　(1)　0 -1，21 (2)　y =-0 x + 11 2 +2　4 y =-x 2 -2x +15
s　(1)　x =-4 のとき最大値 21，x =0 のとき最小値 -3
(2)　x =3 のとき最大値 0，x =1 のとき最小値 -8
(3)　x =0 のとき最大値 1，x =2 のとき最小値 -11
(4)　x =2 のとき最小値 -1，最大値はない
５
s　(ア)　2　(イ)　1　(ウ)　2　(エ)　7　(オカ)　-2　(キ)　3　(ク)　1
(ケ)　1　(コ)　1　(サ)　3　U 0 シス 1 U 21
-2-
１
(1)　y =20 x 2 -2x1 -1
2
(1)
2
y
2
=20 x -2x + 1 - 1 1 -1
1
=20 x 2 -2x + 1 21 -2 ･ 1 2 -1
O
=20 x - 11 2 -3
よって，グラフは下に凸の放物線で，
x
-1
頂点は点 0 1， -31 ，軸は直線 x =1
-3
(2)　y =-0 x 2 + 2x1 +4
2
2
y
(2)
2
=-0 x + 2x + 1 - 1 1 +4
5
4
=-0 x 2 + 2x + 1 21 + 1 2 +4
=-0 x + 11 2 +5
よって，グラフは上に凸の放物線で，
頂点は点 0 -1，51 ，軸は直線 x =-1
-1
２
O
x
(1)　x を x - 0 -11 すなわち x +1，y を y -2 でおき換えると
y -2= 0 x + 11 2
よって　y -2= x 2 +2x +1
すなわち　y = x 2 +2x +3
(2)　f 0 x1 =-2x 2 +1 とすると，求める関数は -y = f 0 -x 1 であるから
-y =-20 -x 1 2 +1
すなわち　y =2x 2 -1
３
(1)　y = 0 x + 11 2 -2 であるから，頂点 P の座標は
0 -1，-21
①
y
下に凸
よって，x 軸に関して点 P と対称な点 Q の座標は
0 -1，21
(-1，2)
(2)　頂点は Q 0 -1，21 に移動し，上に凸の放物線
になるから，x 2 の係数は -1 であり，求める方程
式は　y =-0 x + 11 2 +2
4 y =-x 2 -2x +15
t　y =-0 x 2 + 2x - 11 すなわち　y =-x 2 -2x +1
-3-
O
(-1，-2) 上に凸
(2)
x
４
(1)　y = x 2 -2x -3
y
2
= 0 x -2x1 -3
21
= 0 x 2 -2x + 1 2 - 1 21 -3
= 0 x 2 -2x + 1 21 - 1 2 -3
= 0 x - 11 2 -4
O
この関数のグラフは，右の図の実線
1
x
-4 -3
部分である。
-4
よって，値域は　-3 ( y ( 21
したがって　x =-4 のとき最大値 21，
x =0　のとき最小値 -3
(2)　y =2x 2 -4x -6
y
=20 x 2 -2x1 -6
O 1
-1
=20 x 2 -2x + 1 2 - 1 21 -6
2
2
3
x
2
=20 x -2x + 1 1 -2 ･ 1 -6
=20 x - 11 2 -8
この関数のグラフは，右の図の実線
-6
部分である。
-8
よって，値域は　-8 ( y ( 0
したがって　x =3 のとき最大値 0，
x =1 のとき最小値 -8
(3)　y =-x 2 -4x +1
y
=-0 x 2 + 4x1 +1
5
=-0 x 2 + 4x + 2 2 - 2 21 +1
2
2
1 2
2
=-0 x + 4x + 2 1 + 2 +1
-2 O
x
2
=-0 x + 21 +5
この関数のグラフは，右の図の実線
部分である。
-11
よって，値域は　-11 ( y ( 1
したがって　x =0 のとき最大値 1，
x =2 のとき最小値 -11
(4)　y = x 2 -4x +3
y
2
= 0 x -4x1 +3
= 0 x 2 -4x + 2 2 - 2 21 +3
3
= 0 x 2 -4x + 2 21 - 2 2 +3
= 0 x - 21 2 -1
この関数のグラフは，右の図の実線
O
部分である。
-1
よって，値域は　-1 ( y <3
したがって　x =2 のとき最小値 -1，
最大値はない。
-4-
2
3
x
５
(1)　y = x 2 -4x +5 = 0 x - 2 1 2 - 2 2 +5 = 0 x - 2 1 2 +1
ゆえに，頂点の座標は　0 2，1 1
(2)　y = x 2 +2x +10 のグラフを x 軸方向に 2，y 軸方向に -3 だけ平行移動すると
y - 0 -3 1 = 0 x - 2 1 2 +20 x -2 1 +10 すなわち　y = x 2 -2x +7
(3)　y =2x 2 -3x -1 のグラフを原点に関して対称移動すると
-y =20 -x 1 2 -30 -x 1 -1 すなわち　y =-2x 2 -3x +1
2
2
2
2
2
0 4 1　y =2x -4x +3 =20 x -2x1 +3 =20 x - 1 1 -2 ･ 1 +3 =20 x - 1 1 +1
よって，x =1 のとき最小値 1 をとる。
(5)　3x 2 -3x -1=0 を解の公式を用いて解くと
x =
-0 -3 1 $ U 0 -3 1 2 - 4 ･ 3 ･ 0 -1 1
3 $ U 21
=
2･3
6
-5-

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