放物線の移動

14
⃞
1
ここを
放物線の移動
放物線の平行移動①
チェック
1 ，
2 ⇨ p30・
1 〜
3
⇒頂点の移動を調べる
放物線 = +2+3 は，どのように平行移動すると放物線 = −6+5 に重なるか。
解 = +2+3 ……①，= −6+5
……②とする。
放物線①を平行移動して放物線②に重ねると，①の頂点は②の頂点に重なる。


①から，=(+1) +2，②から，=(−3) −4
頂点がどう移動するか
だけを調べればよい
よって，①の頂点は点 (−1，2)，②の頂点は点 (3，−4)
①を  軸方向に p， 軸方向に q だけ平行移動したとき②に重なるとすると，
−1+ p=3，2+q=−4
これより，p=3−(−1)=4，q=−4−2=−6
ゆえに， 軸方向に 4， 軸方向に −6 だけ平行移動すればよい。
⃞
2
放物線の平行移動②
⇒→− p，→−q

放物線 =a +b+c を， 軸方向に p， 軸方向に q だけ平行移動

して得られる放物線の方程式は，−q=a(− p) +b(− p)+c
 を − p， を −q でおきかえればよい
放物線 =2 −8+5 を， 軸方向に −3， 軸方向に 2 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求め
よ。
解 =2 −8+5 において，
 を +3，
− p=−(−3)
 を −2 でおきかえて，

−2=2(+3) −8(+3)+5
これを整理して，求める方程式は，=2 2+4+1
⃞
3
放物線の対称移動
⇒符号を変化させておきかえ

放物線 =a +b+c を  軸， 軸，原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式は，
 軸： −=a +b+c
 軸：
 を − でおきかえ， はそのまま
➡ だけ符号が変化

 を − でおきかえ， はそのまま
➡ だけ符号が変化

 を − で， を − でおきかえる
➡両方の符号が変化
=a(−) +b(−)+c
原点：−=a(−) +b(−)+c
放物線 = −4+5 を，次の直線または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線の方程式を求
めよ。
⑴
軸
解 ⑴
⑵
⑵
軸
⑶
−= −4+5 より，=− 2+4−5

=(−) −4(−)+5 より，= 2+4+5

⑶ −=(−) −4(−)+5 より，=− 2−4−5
― 32 ―
原点
練習問
1
題
放物線の平行移動① 次の問いに答えよ。
⑴ 放物線 =− −4+4 は，どのように平行移動すると放物線 =− +6+2 に重なるか。
⑵ 放物線 =2 −12+10 は，どのように平行移動すると放物線 =2 +16+13 に重なるか。
1
1
⑶ 放物線 =  ++1 は，どのように平行移動すると放物線 =  −3+5 に重なるか。
2
2
⑷
放物線 =−3 −12+4 は，どのように平行移動すると放物線 =−3 +6+11 に重なるか。
⑸
1
1
放物線 =−  +2−5 は，どのように平行移動すると放物線 =−  −3−5 に重なるか。
4
4
⑹
放物線 = −5+6 は，どのように平行移動すると放物線 = +3−2 に重なるか。
2
放物線の平行移動② 次の放物線を（
）内のように平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

⑴
= +8−3（ 軸方向に 5， 軸方向に 8）
⑵
=−2 +4+5（ 軸方向に −2， 軸方向に 4）
⑶
=3 −6−10（ 軸方向に −4， 軸方向に −7）
⑷
1
=  −3+2（ 軸方向に 2， 軸方向に −5）
2
⑸
1
=  −−1（ 軸方向に −6， 軸方向に 3）
4
⑹
=−4 +5+3  軸方向に

3
1
1
， 軸方向に −
2
2

放物線の対称移動次の問いに答えよ。
⑴ 放物線 =− +6−7 を，次の直線または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線の方程
式を求めよ。
①
軸
②
軸
③
原点
⑵

放物線 =2 +8−1 を，次の直線または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線の方程式
を求めよ。
①
軸
②
軸
③
原点
1
⑶ 放物線 =  −−3 を，次の直線または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線の方程式
2
を求めよ。
①
軸
②
軸
③
原点
1
放物線 =−  −4+2 を，次の直線または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線の方
3
⑷
程式を求めよ。
①
軸
②
軸
③
― 33 ―
原点
15
⃞
1
઄次関数の最大・最小
次関数の最大・最小
ここを
チェック
1 〜
3 ⇨ p30・
3
⇒頂点の  座標に注目
次の 2 次関数の最大値，最小値とそれらを与える  の値を求めよ。
=2 +8+3
⑴
解 ⑴
⑵
=− +6−2

=2(+2) −5 と変形され，グラフは下に凸になる(図)。
図
図
 の値は頂点で最小となり，また，いくらでも大きくなる。
よって，=−2 のとき最小値 −5，最大値はない。

⑵
=−(−3) +7 と変形され，グラフは上に凸になる(図
)。
 の値は頂点で最大となり，また，いくらでも小さくなる。
よって，=3 のとき最大値 7，最小値はない。
⃞
2
区間における最大・最小
⇒頂点，区間の両端に注目
次の 2 次関数の最大値，最小値とそれらを与える  の値を求めよ。
= −4+5 (1≦≦4)
⑴
解 ⑴
⑵
=−2 +4+8 (2≦≦3)

=(−2) +1 と変形され，頂点は点 (2，1)
図
図
また，=1 のとき =2，=4 のとき =5
グラフは右の図 1 の実線部分となる。
よって，=4 のとき最大値 5，=2 のとき最小値 1

=−2(−1) +10 と変形され，頂点は点 (1，10)
⑵
また，=2 のとき =8，=3 のとき =2
グラフは右の図 2 の実線部分となる。
よって，=2 のとき最大値 8，=3 のとき最小値 2
⃞
3
係数の決定
⇒軸と区間の位置関係は?
次の条件を満たすような定数 c の値を定めよ。
⑴ 関数 = −2+c (−2≦≦2) の最小値が −3 である。
⑵ 関数 =2 −12+c (0≦≦2) の最小値が −5 である。
解 ⑴

=(−1) +c−1 と変形され，−2≦≦2 のとき，
=1 で最小値をとる(図)。
=1 のとき，=c−1 であるから，c−1=−3
よって，c=−2
⑵

=2(−3) +c−18 と変形され，0≦≦2 のとき，
=2 で最小値をとる(図
)。
=2 のとき，=2⋅2 −12⋅2+c=c−16
であるから，c−16=−5
よって，c=11
― 34 ―
図
図
練習問
1
題
઄次関数の最大・最小次の 2 次関数の最大値，最小値とそれらを与える  の値を求めよ。
⑴
= +2−4
⑵
=2 −12+10
⑶
=− −4+2
⑷
=−3 +6+4
⑸
1
=  −4+5
2
⑹
1
=  +4+4
3
⑺
1
=−  +5−9
2
⑻
1
=−  −+3
4
⑼
=3 +4+1
⑽
=−2 +2+1
2
区間における最大・最小次の 2 次関数の最大値，最小値とそれらを与える  の値を求めよ。
⑴
= −8+10 (1≦≦3)
⑵
=2 −4−4 (−2≦≦3)
⑶
=− −6+1 (−4≦≦0)
⑷
=−2 −8+3 (−1≦≦1)
⑸
1
=  +−2 (−2≦≦2)
2
⑹
1
=  −−2 (0≦≦4)
4
⑺
1
=−  +2+2 (1≦≦4)
3
⑻
1
1
=−  − +1 (−6≦≦−2)
4
2
⑼
=3 −2−1 (0≦≦1)
⑽
=−5 −4+1 (−1≦≦0)
3
係数の決定次の条件を満たすような定数 c の値を定めよ。
⑴
1
関数 =  −2+c (1≦≦4) の最小値が −1 である。
2
⑵
関数 =2 +12+c (−2≦≦1) の最小値が −9 である。
1
⑶ 関数 =  −+c (−2≦≦5) の最大値が 1 である。
4
⑷
関数 =− −4+c (−5≦≦−1) の最大値が 6 である。
⑸
1
関数 =−  +4+c (−1≦≦2) の最大値が 7 である。
2
⑹
関数 =− −+c (−1≦≦1) の最小値が 2 である。
― 35 ―

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