学籍番号
名
科目名
前
課
電気電子工学科（電子光情報）
：物理学
題
宿題
質量 m1 , m2 のおもり A,B が長さ L の軽い棒の両端につ
1.
であるから，全運動量は，
いたダンベルの運動を考える．ダンベルは質量中心の回りに
P = m1 v 1 + m2 v 2
(
= (m1 + m2 )¯
v + (m2 γ − m1 β)ωL sin ωt,
)
(m1 β − m2 γ)ωL cos ωt
[
]
m1 m2
m1 β =
= γm2
m1 + m2
(
)
= M v¯, 0
¯ で動いてい
一定角速度 ω で回転し，質量中心は一定速度 v
る．次の各問いに答えなさい．
L
m1
A
ω
x
−
v
m2
B
G
となり，一定である．また，全角運動量は xy 平面内運
動であるから，z 成分のみが存在して，その値は以下の
(
E
)
( EE )
質量中心とおもり A との距離はいくらか．
通り一定である．
[
]
Lz = r 1 × m1 v 1 + r 2 × m2 v 2 z
おもり A,B の位置 r 1 (t), r 2 (t) を求めなさい．ただし，
¯ の方向に x 軸を設定し，ダンベルの軸と x 軸のなす角
v
度を θ(t) としなさい．t = 0 のときに質量中心の位置は
原点にあり，θ(0) = 0 としなさい．
(EEE)
= m1 (r1x v1y − r1y v1x ) + m2 (r2x v2y − r2y v2x )
[
= m1 (¯
v t + βL cos θ)βωL cos θ
]
− βL sin θ(¯
v − βωL sin θ)
[
+ m2 − (¯
v t − γL cos θ)γωL cos θ
]
+ γL sin θ(¯
v + γωL sin θ)
[
]
= m1 v¯βωLt cos θ + β 2 L2 ω − v¯βL sin θ
[
]
+ m2 − v¯γωLt cos θ + γ 2 L2 ω + v¯γL sin θ
全運動量，全角運動量が保存されていることを確かめな
さい．
( EL )
ダンベルの運動エネルギーを次の二通りの方法で求め，
一致することを確かめなさい．
(a) A,B
(b)
それぞれの運動エネルギーを求めて和をとる．
質量中心の運動エネルギーと質量中心に対する相対
= (m1 β 2 + m2 γ 2 )ωL2
運動エネルギーの和をとる
( L ) A,B
+ (m1 β − m2 γ )¯
v L(ωt cos θ − sin θ)
に働く外力 F 1 ，
F 2 の和が 0 となっていることを示
0
m1 m2 2
L ω = µL2 ω = Iω
=
m1 + m2
]
[
m1 m2
, I = µL2
µ=
m1 + m2
しなさい．
【解答例】
(
E
)
質量中心を G とおくと，質量中心の定義より内分比が
AG : GB = m2 : m1 であるから，
AG =
m2
L = βL
m1 + m2
( EL )
全運動エネルギーは，以下の通り，二通りの方法の算出
結果が一致する．
(a)
おもり A,B それぞれの運動エネルギーの和として
1
m1 v 2
2 [1
]
1
2
2
v βωL sin ωt
= m1 v¯ + (βωL) − 2¯
2
1
KB = m2 v22
2 [
]
1
2
2
= m2 v¯ + (γωL) + 2¯
v γωL sin ωt
2
が x 軸となす角度 θ は θ(t) = ωt + θ(0) = ωt，GB
(
)
¯ = v¯t, 0 であ
がなす角度は θ + π であり，重心の位置 r
( EE ) GA
K1 =
るから，γ = 1 − β = m1 /(m1 + m2 ) とおいて，
(
)
r 1 = v¯t + βL cos ωt, βL sin ωt
(
)
r 2 = v¯t − γL cos ωt, − γL sin ωt
の速度は r を時間で微分して，それぞれ，
(
)
v 1 = v¯ − βωL sin ωt, βωL cos ωt
(
)
v 2 = v¯ + γωL sin ωt, − γωL cos ωt
(EEE) A,B
∴ K = K1 + K2
)
(
1
1
= (m1 + m2 )¯
v 2 + ω 2 L2 m1 β 2 + m2 γ 2
2
2
1
1 2 2
1
1
2
= M v¯ + µL ω = M v¯2 + Iω 2 2
2
2
2
(b)
質量中心 M = m1 + m2 の並進とそのまわりの相
対運動のエネルギーとの和として，
1
M v¯2 +
2
1
= M v¯2 +
2
K=
( L ) A,B
1
1
2
2
m1 (ωβL) + m2 (ωγL)
2
2
1 2 2
ω L (m1 β 2 + m2 γ 2 )
2
の加速度より力を計算すると，
(
)
F 1 + F 12 = m1 a1 = −βω 2 Lm1 cos ωt, sin ωt
(
)
F 2 + F 21 = m2 a2 = +γω 2 Lm2 cos ωt, sin ωt
両辺の和を取り，内力の関係 F 12 + F 21 = 0 に注意して
整理すると，
(
)
F 1 + F 2 = (γm2 − m1 β )ω 2 L cos ωt, sin ωt = 0
0
すなわち，外力の和は 0 となっている．

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