2014/7/10 1 力学

2014/7/10

 F
a
m
力学
物体にはたらいている力
ニュートンの第２法則
（運動方程式）
運動
質量を介してこの
２つを関係づける
 
ma  F

 F
a
m
加速度
微分
積分
はたらく力が一定
(等加速度直線運動)
a  0 m/s 2
1. 加速度
a：
a  一定
2. 速度
v：
v  v0  at
3. 移動距離
s：
4. 位置
x：
はたらく力が０
(等速直線運動)
v  v0 

a 

t 

v  v0  一定
1
s  v0t  at 2
2
1
x  x0  v0t  at 2
2
s  v0t
s

v  
t

x  x0  s  x0  v0t
速度
積分
微分
位置
v0  初速度(t  0での速度）
水平面との角度が  で、動摩擦係数が ’ の粗い斜面を滑り降
りている質量m〔kg〕の物体がある。
•垂直抗力を求めよ。
•動摩擦力はいくらか
 
•斜面に沿った方向の運動方程式を立てよ ma  F
v  v0  at
•任意の時刻 t での速さを求めよ
ただし、時刻 t=0 で速さをv0 とする。
1
x  x0  v0t  at 2
•任意の時刻 t での位置 x を求めよ。
2
ただし、時刻 t=0 で位置を x0 とする。
垂直抗力 mg cos
 ’ mg cos
x0 (t  0での位置）
放物運動
水平面に対して角  で質量 m の物体をv0の速さで投げる。
空気抵抗などは無視できるとしてこの物体の運動を考える。
力がわかる → 加速度がわかる → 速度がわかる → 位置がわかる
物体にはたらいている力：下向きに大きさmgの重力のみ
y
ma=mg sin –’ mg cos
a=g( sin –’ cos )
v=g( sin –’ cos )t+v0
x=(1/2)g( sin –’ cos )t2+v0t+x0

v0
mg sin
mg cos

mg


x
m
x
投げた瞬間の時刻 t [s]を0とする
mg
放物運動
水平運動，鉛直運動 : それぞれを計算して合成する

F  ( Fx , Fy )  (0,mg )
平面の運動は力、速度、加速度などを
x方向とy方向の各成分にわけて考える
力：
速度：
加速度：
位置：

v0  v0
y

v0
• 水平運動（等速度運動）
力=0  運動方程式：max=0
加速度ax=0 速度＝一定

F  ( Fx , Fy )  (0,mg )
mg

O
m
投げた瞬間の時刻 t [s]を0とする
• 鉛直方向（等加速度運動）
力＝－mg  運動方程式：may= － mg
加速度ay=－g
ax 
Fx
m
ay 
Fy
m
x
1
2014/7/10

 F
a
m
X 方向（水平方向）
はたらく力が一定
(等加速度直線運動)
a：
a  一定
2. 速度
v：
v  v0  at
s：
4. 位置
x：
v  v0 


a 
t 

X 方向（水平方向）
 v0t cos 
v
0
速度：
s  v0t
x  x0  s  x0  v0t
x0 (t  0での位置）
X 方向（水平方向）
v x  一定  v0 cos 
力： Fx  0
s  v0t
v0 x  v0 cos 
 v0t cos 
位置：
x  x0  s  x0  v0t
a  0 m/s 2
v  v0  一定
s  v0t
y
s

v  
t

x  x0  s  x0  v0t

x
y 方向（鉛直方向）
m
Fy
m

 mg
 g
m
  gdt   gt  C
力： Fy   mg 加速度： a y 
v y  v0 sin   a y t  v0 sin   gt

v0  v0
v0 y  v0 sin 
x
投げた瞬間の時刻 t [s]を0とする
y 方向（鉛直方向）
力： Fy   mg 加速度： a y 
v0 x  v0 cos 
速度：
a  一定
v  v0  at

v  v0 

a 

t 

1
s  v0t  at 2
2
1
x  x0  v0t  at 2
2

v0
Fy
m

 mg
 g
m
  gdt   gt  C
v y  v0 sin   a y t  v0 sin   gt
1 2
位置： y  y0  v0 y t  a y t
2
1
 0  v0t sin   gt 2
2
1
 v0t sin   gt 2
2
y
a  一定
v  v0  at
v  v0 

a 

t 

1
s  v0t  at 2
2
1
x  x0  v0t  at 2
2

v0

m
cos dt  v0 cos  t  C

v0
投げた瞬間の時刻 t [s]を0とする
y
v x  一定  v0 cos 
x  x0  s  0  s  v0t cos 

速度：
v
速度：
s

v  
t


v0
m
 0dt  C
Fx
0
m
0
v  v0  一定

加速度： a x 
移動距離： s
a  0 m/s 2

v0  v0
y
s

v  
t

s  v0t
x  x0  s  x0  v0t
cos dt  v0 cos  t  C
v0 y  v0 sin 
v  v0  一定
s

v  
t

 0dt  C
F
加速度： a x  x  0
m
移動距離： s
v  v0  一定
1
s  v0t  at 2
2
1
x  x0  v0t  at 2
2
v0  初速度(t  0での速度）
力： Fx  0
a  0 m/s 2
a  0 m/s 2
1. 加速度
3. 移動距離
はたらく力が０
(等速直線運動)

投げた瞬間の時刻 t [s]を0とする
x
m
投げた瞬間の時刻 t [s]を0とする
x
2
2014/7/10
軌跡
鉛直方向（y方向）の運動
水平方向（x方向）の運動
y
ay  g
加速度
ax  0
v y  v0 y  a y t
v x  一定
v y  v0 sin   gt
速度
y  v0t sin  
1 2
gt
2
軌跡


x 

 t 
v0 cos  


m
g
x 2  tan   x
2v02 cos 2 
あるいは、
y
g 2 v0 y
x 
x
v0 x
2v02x
放物運動において，y = 0となるx の値を求め，水平方向の到達距離b を
求めなさい．また，最高到達高度d を求めなさい
y

v0  v0
v0 y  v0 sin 
y
x
投げた瞬間の時刻 t [s]を0とする
問
軌跡
軌跡
問
v0 x  v0 cos 

v0
g
y 2
x 2  tan   x
2v0 cos 2 
y

v0  v0
v0 y  v0 sin 
y
g
v sin 
y 2
x2  0
x
2v0 cos 2 
v0 cos 
(t を消去する)
g 2 v0 y
x 
x
v0 x
2v02x
v0 y  v0 sin 
x  x0  v0 xt
x  v0t cos 
y
あるいは、
v0 x  v0 cos 
v x  v0 cos 
1
y  y0 y  v0 y t  a y t 2
2
位置
g
x 2  tan   x
2v02 cos 2 
高さが０ → y=0
g
x 2  tan   x
2v02 cos 2 


g
0   x   2
x  tan  
2
 2v0 cos 

0
x0
g
x 2  tan   x
2v02 cos 2 

g
y
x


v0
v0 x  v0 cos 
d

v0

m

x  tan    0
or  2
2

 2v0 cos 

2v02 cos 2 
tan 
g
2v02 cos  sin 
g

投げた瞬間の時刻 t [s]を0とする
b
x
m
b
x
2v02 cos  sin  2v0 x v0 y

g
g
問
y
g
x 2  tan   x
2v02 cos 2 
・・・(a)
高さが最大 → yが最大 → 微分して0
y' ( x)  
g
x  tan   0
v02 cos 2 
(a)に代入
v02 cos  sin 
g
g
2v cos 2 
2
0

v0
d

m
2
 v02 cos  sin  
v 2 cos  sin 

  tan   0
g
g


v02 sin 2  v02 sin 2  v02 sin 2 



2g
g
2g
y
y
x
x
v02 cos  sin 
g
2
v02 sin 2  v0 y

2g
2g
x
b
2v02 cos  sin  2v0 x v0 y

g
g
3

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