解析学D演習問題 No.1

解析学 D 演習問題 No.1
2014.10.3
1. 以下を示せ.
(1) I は R の有界閉区間、f : I → R は連続関数、a, b ∈ R, a < b, g : [a, b] → R は C 1 級関数、
g([a, b]) ⊂ I とする. 以下が成り立つ.
∫
∫
g(t)
t
f (x)dx =
g(a)
f (g(x))g ′ (x)dx (a ≤ t ≤ b).
a
(2) f, g : R → R は連続関数とする. x : R → R が f (x(t))x′ (t) = g(t) を満すならば以下が成立する.
∫
∫
x(t)
t
f (s)ds =
g(s)ds.
x(a)
a
(3) c, T ∈ R, b, a ∈ C 0 (R), x ∈ C 1 (R),
x′ (t) + a(t)x(t) = b(t), x(T ) = c, (t ∈ R)
とする. x は次の関数である.
x(t) = e
−
∫t
T
(∫
a(s) ds
t
b(s)e
∫s
T
)
a(v) dv
ds + c
(t ∈ R).
T
2. 次を満す非自明な関数 x を一つ求めよ. x が求まらない場合は f (x(t)) = 0 の形で表示せよ. この
事を”微分方程式を解く”と言う. 自明解とは x(t) = 定数 (t ∈ R) となる解の事である.
(1) x′ (t) = 2x(t)
(2) x′ (t) = t3 x(t)
(3) x′ (t) = x(t)3
(4) x′ (t) = x(t)−3
(5) x′ (t) = −x(t)2
(6) x′ (t) = e3x(t)
et
t
(8) x′ (t) = t(1 − x(t)2 )
(9) x′ (t) = −
sin(x(t))
1 + x(t)
1+t
√
(10) tx(t)x′ (t) = 1 + x(t)2 (11) 2tx(t)2 x′ (t) + x(t)2 = 2 (12) x′ (t) = cos(x(t) − t)
√
(13) x′ (t) − tx(t)2 = 2tx(t) (14) (t + 2x(t))x′ (t) = 1
(15) x′ (t) = 4t + 2x(t) − 1
(7) x′ (t) =
(16) x(t)x′ (t) + t = 1
(17) 2t2 x(t)x′ (t) + x(t)2 = 2 (18) t2 x′ (t) = cos(2x(t)) + 1
(19) x′ (t) = 3x(t)2 + 4, x(2) = 5.
(20) x′ (t) = x(t) sin t + cos t, x(0) = 2.
x(t)3
+ 6, x(1) = 1, (t > 0). (22) x′ (t) = log(x(t)) + sin t, x(1) = 1.
t
x(t)
x(t)
(23) x′ (t) = −
+ cos t.
(24) x′ (t) = −
+ t3 .
1+t
t
(25) x′ (t) + x(t) = sin(x(t)), x(0) = 1. (26) x′ (t) + x(t) = x(t)3 , x(1) = 2
(21) x′ (t) =
(27) x′ (t) = 4x(t), x(1) = 0
配布済演習問題は以下に在ります。
http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/
(28) (t2 − 1)x′ (t) + 2tx(t)2 = 0, x(0) = 1
解析学 D 演習問題 No.2
2014.10.3
(
′
3. f : R → R は C 1 級関数とする。方程式 x (t) = f
u′ =
f (u) − u
. に変換される事を示せ。
t
x(t)
t
)
は、u(t) =
x(t)
と置けば, 方程式
t
4. 次の方程式の非自明解を一つ求めよ.
(1) x +
√
(4) x′ =
t2 + x2
x
. (3) t tan − x + tx′ = 0.
2tx
t
2tx
(5) x′ = 2
.
t + x2
t2 + x2 = tx′ . (2) x′ =
−2tx
.
+ x2
t2
5. F, f, g : R2 → R は C 2 級関数,I は R の開区間とする。次の方程式を考える。
f (t, u(t)) + g(t, u(t))u′ (t) = 0.
(1.0)
以下を示せ。
∂F
∂F
(x, y) = f (x, y),
(x, y) = g(x, y)
∂x
∂y
を満たすとする。u : I → R が (1.0) の解ならば, ある定数 C が存在し F (t, u(t)) = C (t ∈ I) が成り
立つ。
∂f
∂g
(2)
(x, y) =
(x, y) のとき、次の F は (1.1) 式を満たす.
∂y
∫∂x
∫
(1)
Fが
(1.1)
x
F (x, y) =
y
f (t, y)dt +
a
g(a, t)dt.
b
6. 次の方程式の非自明解を一つ求めよ.
(1) 2t + u + (t + 2u)u′ = 0.(2) t + sin u + tu′ cos u = 0.(3) t2 u + u + 1 + t(1 + t2 )u′ = 0.
√
tu + u = tu′ .
(6) tu′ = 2u + t.
(4) (t2 + u2 )u′ = 2tu.
(5)
(7) 2tu + (t2 − u2 )u′ = 0. (8) t − u + (t + u)u′ = 0.
7. n ∈ N, a0 = 1, a1 , · · · , an , α ∈ C, f (s) =
n
∑
(9) u2 − 2tu + t2 u′ = 0.
l
an−l s とする。微分方程式 (E)
l=0
を考える。以下を示せ。
(1) f (s) が (s − α) で割り切れるならば、x(t) = eαt は微分方程式 (E) の解である。
(2) f (s) が (s − α)2 で割り切れるならば、x(t) = teαt は (E) の解である。
(3) f (s) が (s − α)3 で割り切れるならば、x(t) = t2 eαt は (E) の解である。
n
∑
an−l x(l) = 0
l=0
8. 以下の微分方程式の非自明解で互いに定数倍でない解を, 方程式の階数個求めよ.
(1) x′′ − 3x′ + 2x = 0. (2) x′′′ + x′′ − x′ − x = 0. (3) x′′′ + x′′ − 2x′ = 0.
(4) x′′ + 3x′ + 2x = 0. (5) x′′ + 8x′ + 12x = 0.
(6) x′′′ − 7x′′ + 12x′ = 0.
(7) x′′ + 2x′ + 5x = 0. (8) x′′ + x = 0.
(9) x′′′ − 2x′ + 4x = 0.
(10) x′′′′ + 2x′′ + x = 0. (11) x′′ + x′ + x = 0.
(12) x′′′ + x′ + x = 0.
解析学 D 演習問題 No.3
2014.10.3
9. α ̸= 1 とする. x(t) は方程式 x′ (t) + f (t)x(t) = g(t)x(t)α の解とする.
y(t) = (x(t))1−α は y ′ (t) + (1 − α)f (t)y(t) = (1 − α)g(t) の解である事を示せ.
10. 次の方程式の非自明解を一つ求めよ.
√
√
(1) tx′ − 2t2 x = 4x (2) x′ + et x = t2 x 2
(3) x′ + (sin t)x = e2t x5
(4) x′ + t5 x = t4 x5/2 (5) x′ + et (sin t)x = t3 xπ (6) x′ + 2t3 x = 3t4 x2
11. x′ + f (t) + g(t)x + h(t)x2 = 0 の解が x, u ならば
y(t) = x(t) − u(t) は y ′ + (g(t) + 2h(t)u(t))y + h(t)y 2 = 0 の解である事を示せ.
12. 以下の方程式の後の関数 u が解である事を確かめて, それ以外の解を求めよ.
(1) x′ + 2t2 = t2 (x + x2 ), (u(t) = 1)
(2) x′ + t3 − 1 + t2 x − 2tx2 = 0, (u(t) = t)
(3) x′ + (x − 1)(tx + sin t) = 0, (u(t) = 1) (4) x′ − 2t2 − 1 + tx + x2 = 0, (u(t) = t)
13. I は R の開区間, a ∈ I, f, g : I → R は連続関数, f (t)g(t) = 0 (t ∈ I) とする. このとき,
f (t) = 0 (t ∈ I) 又は, 開区間 J が存在し J ⊂ I,
[f (t) ̸= 0 (t ∈ J) かつ g(t) = 0 (t ∈ J)] が成立する事を示せ.
14. f : R → R は滑かな関数とする. 微分方程式 x = tx′ + f (x′ ) を考える.
(1) 次が成り立つ事を示せ: (f ′ (x′ (t)) + t)x′′ (t) = 0 (t ∈ R).
問 16 より x′′ (t) = 0 (t ∈ J) 又は [x′′ (t) ̸= 0 (t ∈ J) かつ f ′ (x′ (t)) + t = 0 (t ∈ J)] である.
(2) x′′ = 0 を解け.
[x′′ (t) ̸= 0 (t ∈ J) かつ f ′ (x′ (t)) + t = 0 (t ∈ J)] の時を考える. x′′ (t) ̸= 0 (t ∈ J) だから x′ の逆関数
v が存在する.
(3) 次が成り立つ事を示せ: v(t) = −f ′ (t), x(v(t)) = −tf ′ (t) + f (t).
15. 以下の方程式を問 14(3) に従って解き, その関数が方程式を満す事を確かめよ.
√
(1) x = tx′ + 1 + (x′ )2 (2) x = tx′ + (x′ )2 (3) x = tx′ − (x′ )2
1
(4) x = tx′ + ′
(5) x = tx′ − log x′ (6) x = tx′ + x′ − (x′ )2
x
16. a, b ∈ R, c ∈ C 0 (R).x ∈ C 2 (R) は x′′ (t) + ax′ (t) + bx(t) = c(t), (t ∈ R) の解とする.
p, q ∈ C は s2 + as + b = 0 の解とする. 以下を示せ.
(1) x′′ + ax′ + bx = (x′ − px)′ − q(x′ − px). ∫
t
(2) x′ (t) − px(t) = eq(t−T ) (x′ (T ) − px(T )) +
eq(t−s) c(s)ds.
T
∫ t
p(t−s)
(3) x(t) = ep(t−T ) x(T ) +
e
w(s)ds.
T
∫ t
q(t−T ) ′
ここで w(t) = e
(x (T ) − px(T )) +
eq(t−s) c(s)ds.
T
17. 次の微分方程式を解け.
(1)x′′ + x = 0, x′ (0) = x(0) = 1.
(2)x′′ + x = et , x′ (0) = x(0) = 1.
(3)x′′ − 3x′ + 2x = 0, x′ (0) = 0, x(0) = 1. (4)x′′ − 3x′ + 2x = et , x′ (0) = 0, x(0) = 1.
解析学 D 演習問題 No.4
2014.10.3
18. I は R の区間、a, b は I 上の連続関数,
S は方程式 x′′ + a(t)x′ + b(t)x = 0 (t ∈ I)(の解全体の集合とする
.
)
x(t) y(t)
任意の x, y ∈ S に対して w(x, y)(t) = det
と置く. 以下を示せ.
x′ (t) y ′ (t)
(1) 任意の x, y ∈ S, s ∈ R に対して (x + y)(t) = x(t) + y(t), (sx)(t) = sx(t) (t ∈ I) とする.
このとき S は R 上の線型空間である.
(2) x, y ∈ S のとき、w(x, y)(t)′ + a(t)w(x, y)(t) = 0 (t ∈ I).
(3) x, y ∈ S とする. 以下の (i)(ii) は同値である.
(i) 或る s ∈ I に対し w(x, y)(s) ̸= 0. (ii) 任意の t ∈ I に対し w(x, y)(t) ̸= 0.
(4) x, y ∈ S とする. 以下の (i)(ii) は同値である.
(i) 或る s ∈ I に対し w(x, y)(s) ̸= 0. (ii) x, y は S で線型独立である.
(5) x, y ∈ S, y ̸= 0, T ∈ I, w(x, y)(T ) = 0 とする.
このとき I 上の関数 c が存在し x(t) = c(t)y(t) (t ∈ I) である.
(6) 任意の x ∈ S に対して, ある s ∈ I が存在し x′ (s) = x(s) = 0 ならば x(t) = 0 (t ∈ I) とする.
x, y ∈ S, y ̸= 0, T ∈ I, w(x, y)(T ) = 0 ならば定数 c が存在し
x(t) = cy(t) (t ∈ I) である.
∫ t − ∫ s a(v)dv
e T
(7) y ∈ S, y(t) ̸= 0 (t ∈ I), T ∈ I, x(t) = y(t)
ds とする.
y(s)2
T
このとき x ∈ S, w(x, y)(t) ̸= 0 (t ∈ I) である.
(8) T ∈ I, ∫x, y ∈ S, w(x, y)(T ) ̸=∫0, f ∈ C 0 (I) とする.
t
t
−f (s)y(s)
f (s)x(s)
u(t) = x(t)
ds + y(t)
ds
T w(x, y)(s)
T w(x, y)(s)
は u′′ + a(t)u′ + b(t)u = f (t) (t ∈ I) を満す.
19. 以下の微分方程式に関して, 括弧内の関数 y が同次方程式の解である事を確かめて,
他の解, 又は非同次方程式の解を一つ求めよ.
2
(1) x′′ − 2tx′ − 2x = 0, (y(t) = et )
2
(2) x′′ − 2tx′ − 2x = t + 1, (y(t) = et )
(3) x′′ + (t − 2)x′ − tx = 0, (y(t) = tet )
(4) x′′ + (t − 2)x′ − tx = t2 + 1, (y(t) = tet )
(5) x′′ + (sin t cos t)x′ − (1 + cos2 t)x = 0, (y(t) = sin t)
(6) x′′ + (sin t cos t)x′ − (1 + cos2 t)x = t − 2, (y(t) = sin t)
t
1
(7) x′′ +
tx′ −
x = 0, (y(t) = t)
t+1
t−1
t
1
(8) x′′ +
tx′ −
x = et , (y(t) = t)
t+1
t−1
1
1−t
(9) x′′ − x′ +
x = 0, (y(t) = et )
t
t
1 ′ 1−t
′′
(10) x − x +
x = t2 + 1, (y(t) = et )
t
t
t
1
′
′′
(11) x −
x +
x = 0, (y(t) = et )
t−1
t−1
t
1
′
′′
(12) x −
x +
x = t − 1, (y(t) = et )
t−1
t−1
2t + 3 ′
2
(13) x′′ −
x +
x = 0, (y(t) = e2t )
t+1
t+1
2t + 3 ′
2
t t
(14) x′′ −
x +
x=
e , (y(t) = e2t )
t+1
t+1
t+1

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