解析学 D 演習問題 No.1 2014.10.3 1. 以下を示せ. (1) I は R の有界閉区間、f : I → R は連続関数、a, b ∈ R, a < b, g : [a, b] → R は C 1 級関数、 g([a, b]) ⊂ I とする. 以下が成り立つ. ∫ ∫ g(t) t f (x)dx = g(a) f (g(x))g ′ (x)dx (a ≤ t ≤ b). a (2) f, g : R → R は連続関数とする. x : R → R が f (x(t))x′ (t) = g(t) を満すならば以下が成立する. ∫ ∫ x(t) t f (s)ds = g(s)ds. x(a) a (3) c, T ∈ R, b, a ∈ C 0 (R), x ∈ C 1 (R), x′ (t) + a(t)x(t) = b(t), x(T ) = c, (t ∈ R) とする. x は次の関数である. x(t) = e − ∫t T (∫ a(s) ds t b(s)e ∫s T ) a(v) dv ds + c (t ∈ R). T 2. 次を満す非自明な関数 x を一つ求めよ. x が求まらない場合は f (x(t)) = 0 の形で表示せよ. この 事を”微分方程式を解く”と言う. 自明解とは x(t) = 定数 (t ∈ R) となる解の事である. (1) x′ (t) = 2x(t) (2) x′ (t) = t3 x(t) (3) x′ (t) = x(t)3 (4) x′ (t) = x(t)−3 (5) x′ (t) = −x(t)2 (6) x′ (t) = e3x(t) et t (8) x′ (t) = t(1 − x(t)2 ) (9) x′ (t) = − sin(x(t)) 1 + x(t) 1+t √ (10) tx(t)x′ (t) = 1 + x(t)2 (11) 2tx(t)2 x′ (t) + x(t)2 = 2 (12) x′ (t) = cos(x(t) − t) √ (13) x′ (t) − tx(t)2 = 2tx(t) (14) (t + 2x(t))x′ (t) = 1 (15) x′ (t) = 4t + 2x(t) − 1 (7) x′ (t) = (16) x(t)x′ (t) + t = 1 (17) 2t2 x(t)x′ (t) + x(t)2 = 2 (18) t2 x′ (t) = cos(2x(t)) + 1 (19) x′ (t) = 3x(t)2 + 4, x(2) = 5. (20) x′ (t) = x(t) sin t + cos t, x(0) = 2. x(t)3 + 6, x(1) = 1, (t > 0). (22) x′ (t) = log(x(t)) + sin t, x(1) = 1. t x(t) x(t) (23) x′ (t) = − + cos t. (24) x′ (t) = − + t3 . 1+t t (25) x′ (t) + x(t) = sin(x(t)), x(0) = 1. (26) x′ (t) + x(t) = x(t)3 , x(1) = 2 (21) x′ (t) = (27) x′ (t) = 4x(t), x(1) = 0 配布済演習問題は以下に在ります。 http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/ (28) (t2 − 1)x′ (t) + 2tx(t)2 = 0, x(0) = 1 解析学 D 演習問題 No.2 2014.10.3 ( ′ 3. f : R → R は C 1 級関数とする。方程式 x (t) = f u′ = f (u) − u . に変換される事を示せ。 t x(t) t ) は、u(t) = x(t) と置けば, 方程式 t 4. 次の方程式の非自明解を一つ求めよ. (1) x + √ (4) x′ = t2 + x2 x . (3) t tan − x + tx′ = 0. 2tx t 2tx (5) x′ = 2 . t + x2 t2 + x2 = tx′ . (2) x′ = −2tx . + x2 t2 5. F, f, g : R2 → R は C 2 級関数,I は R の開区間とする。次の方程式を考える。 f (t, u(t)) + g(t, u(t))u′ (t) = 0. (1.0) 以下を示せ。 ∂F ∂F (x, y) = f (x, y), (x, y) = g(x, y) ∂x ∂y を満たすとする。u : I → R が (1.0) の解ならば, ある定数 C が存在し F (t, u(t)) = C (t ∈ I) が成り 立つ。 ∂f ∂g (2) (x, y) = (x, y) のとき、次の F は (1.1) 式を満たす. ∂y ∫∂x ∫ (1) Fが (1.1) x F (x, y) = y f (t, y)dt + a g(a, t)dt. b 6. 次の方程式の非自明解を一つ求めよ. (1) 2t + u + (t + 2u)u′ = 0.(2) t + sin u + tu′ cos u = 0.(3) t2 u + u + 1 + t(1 + t2 )u′ = 0. √ tu + u = tu′ . (6) tu′ = 2u + t. (4) (t2 + u2 )u′ = 2tu. (5) (7) 2tu + (t2 − u2 )u′ = 0. (8) t − u + (t + u)u′ = 0. 7. n ∈ N, a0 = 1, a1 , · · · , an , α ∈ C, f (s) = n ∑ (9) u2 − 2tu + t2 u′ = 0. l an−l s とする。微分方程式 (E) l=0 を考える。以下を示せ。 (1) f (s) が (s − α) で割り切れるならば、x(t) = eαt は微分方程式 (E) の解である。 (2) f (s) が (s − α)2 で割り切れるならば、x(t) = teαt は (E) の解である。 (3) f (s) が (s − α)3 で割り切れるならば、x(t) = t2 eαt は (E) の解である。 n ∑ an−l x(l) = 0 l=0 8. 以下の微分方程式の非自明解で互いに定数倍でない解を, 方程式の階数個求めよ. (1) x′′ − 3x′ + 2x = 0. (2) x′′′ + x′′ − x′ − x = 0. (3) x′′′ + x′′ − 2x′ = 0. (4) x′′ + 3x′ + 2x = 0. (5) x′′ + 8x′ + 12x = 0. (6) x′′′ − 7x′′ + 12x′ = 0. (7) x′′ + 2x′ + 5x = 0. (8) x′′ + x = 0. (9) x′′′ − 2x′ + 4x = 0. (10) x′′′′ + 2x′′ + x = 0. (11) x′′ + x′ + x = 0. (12) x′′′ + x′ + x = 0. 解析学 D 演習問題 No.3 2014.10.3 9. α ̸= 1 とする. x(t) は方程式 x′ (t) + f (t)x(t) = g(t)x(t)α の解とする. y(t) = (x(t))1−α は y ′ (t) + (1 − α)f (t)y(t) = (1 − α)g(t) の解である事を示せ. 10. 次の方程式の非自明解を一つ求めよ. √ √ (1) tx′ − 2t2 x = 4x (2) x′ + et x = t2 x 2 (3) x′ + (sin t)x = e2t x5 (4) x′ + t5 x = t4 x5/2 (5) x′ + et (sin t)x = t3 xπ (6) x′ + 2t3 x = 3t4 x2 11. x′ + f (t) + g(t)x + h(t)x2 = 0 の解が x, u ならば y(t) = x(t) − u(t) は y ′ + (g(t) + 2h(t)u(t))y + h(t)y 2 = 0 の解である事を示せ. 12. 以下の方程式の後の関数 u が解である事を確かめて, それ以外の解を求めよ. (1) x′ + 2t2 = t2 (x + x2 ), (u(t) = 1) (2) x′ + t3 − 1 + t2 x − 2tx2 = 0, (u(t) = t) (3) x′ + (x − 1)(tx + sin t) = 0, (u(t) = 1) (4) x′ − 2t2 − 1 + tx + x2 = 0, (u(t) = t) 13. I は R の開区間, a ∈ I, f, g : I → R は連続関数, f (t)g(t) = 0 (t ∈ I) とする. このとき, f (t) = 0 (t ∈ I) 又は, 開区間 J が存在し J ⊂ I, [f (t) ̸= 0 (t ∈ J) かつ g(t) = 0 (t ∈ J)] が成立する事を示せ. 14. f : R → R は滑かな関数とする. 微分方程式 x = tx′ + f (x′ ) を考える. (1) 次が成り立つ事を示せ: (f ′ (x′ (t)) + t)x′′ (t) = 0 (t ∈ R). 問 16 より x′′ (t) = 0 (t ∈ J) 又は [x′′ (t) ̸= 0 (t ∈ J) かつ f ′ (x′ (t)) + t = 0 (t ∈ J)] である. (2) x′′ = 0 を解け. [x′′ (t) ̸= 0 (t ∈ J) かつ f ′ (x′ (t)) + t = 0 (t ∈ J)] の時を考える. x′′ (t) ̸= 0 (t ∈ J) だから x′ の逆関数 v が存在する. (3) 次が成り立つ事を示せ: v(t) = −f ′ (t), x(v(t)) = −tf ′ (t) + f (t). 15. 以下の方程式を問 14(3) に従って解き, その関数が方程式を満す事を確かめよ. √ (1) x = tx′ + 1 + (x′ )2 (2) x = tx′ + (x′ )2 (3) x = tx′ − (x′ )2 1 (4) x = tx′ + ′ (5) x = tx′ − log x′ (6) x = tx′ + x′ − (x′ )2 x 16. a, b ∈ R, c ∈ C 0 (R).x ∈ C 2 (R) は x′′ (t) + ax′ (t) + bx(t) = c(t), (t ∈ R) の解とする. p, q ∈ C は s2 + as + b = 0 の解とする. 以下を示せ. (1) x′′ + ax′ + bx = (x′ − px)′ − q(x′ − px). ∫ t (2) x′ (t) − px(t) = eq(t−T ) (x′ (T ) − px(T )) + eq(t−s) c(s)ds. T ∫ t p(t−s) (3) x(t) = ep(t−T ) x(T ) + e w(s)ds. T ∫ t q(t−T ) ′ ここで w(t) = e (x (T ) − px(T )) + eq(t−s) c(s)ds. T 17. 次の微分方程式を解け. (1)x′′ + x = 0, x′ (0) = x(0) = 1. (2)x′′ + x = et , x′ (0) = x(0) = 1. (3)x′′ − 3x′ + 2x = 0, x′ (0) = 0, x(0) = 1. (4)x′′ − 3x′ + 2x = et , x′ (0) = 0, x(0) = 1. 解析学 D 演習問題 No.4 2014.10.3 18. I は R の区間、a, b は I 上の連続関数, S は方程式 x′′ + a(t)x′ + b(t)x = 0 (t ∈ I)(の解全体の集合とする . ) x(t) y(t) 任意の x, y ∈ S に対して w(x, y)(t) = det と置く. 以下を示せ. x′ (t) y ′ (t) (1) 任意の x, y ∈ S, s ∈ R に対して (x + y)(t) = x(t) + y(t), (sx)(t) = sx(t) (t ∈ I) とする. このとき S は R 上の線型空間である. (2) x, y ∈ S のとき、w(x, y)(t)′ + a(t)w(x, y)(t) = 0 (t ∈ I). (3) x, y ∈ S とする. 以下の (i)(ii) は同値である. (i) 或る s ∈ I に対し w(x, y)(s) ̸= 0. (ii) 任意の t ∈ I に対し w(x, y)(t) ̸= 0. (4) x, y ∈ S とする. 以下の (i)(ii) は同値である. (i) 或る s ∈ I に対し w(x, y)(s) ̸= 0. (ii) x, y は S で線型独立である. (5) x, y ∈ S, y ̸= 0, T ∈ I, w(x, y)(T ) = 0 とする. このとき I 上の関数 c が存在し x(t) = c(t)y(t) (t ∈ I) である. (6) 任意の x ∈ S に対して, ある s ∈ I が存在し x′ (s) = x(s) = 0 ならば x(t) = 0 (t ∈ I) とする. x, y ∈ S, y ̸= 0, T ∈ I, w(x, y)(T ) = 0 ならば定数 c が存在し x(t) = cy(t) (t ∈ I) である. ∫ t − ∫ s a(v)dv e T (7) y ∈ S, y(t) ̸= 0 (t ∈ I), T ∈ I, x(t) = y(t) ds とする. y(s)2 T このとき x ∈ S, w(x, y)(t) ̸= 0 (t ∈ I) である. (8) T ∈ I, ∫x, y ∈ S, w(x, y)(T ) ̸=∫0, f ∈ C 0 (I) とする. t t −f (s)y(s) f (s)x(s) u(t) = x(t) ds + y(t) ds T w(x, y)(s) T w(x, y)(s) は u′′ + a(t)u′ + b(t)u = f (t) (t ∈ I) を満す. 19. 以下の微分方程式に関して, 括弧内の関数 y が同次方程式の解である事を確かめて, 他の解, 又は非同次方程式の解を一つ求めよ. 2 (1) x′′ − 2tx′ − 2x = 0, (y(t) = et ) 2 (2) x′′ − 2tx′ − 2x = t + 1, (y(t) = et ) (3) x′′ + (t − 2)x′ − tx = 0, (y(t) = tet ) (4) x′′ + (t − 2)x′ − tx = t2 + 1, (y(t) = tet ) (5) x′′ + (sin t cos t)x′ − (1 + cos2 t)x = 0, (y(t) = sin t) (6) x′′ + (sin t cos t)x′ − (1 + cos2 t)x = t − 2, (y(t) = sin t) t 1 (7) x′′ + tx′ − x = 0, (y(t) = t) t+1 t−1 t 1 (8) x′′ + tx′ − x = et , (y(t) = t) t+1 t−1 1 1−t (9) x′′ − x′ + x = 0, (y(t) = et ) t t 1 ′ 1−t ′′ (10) x − x + x = t2 + 1, (y(t) = et ) t t t 1 ′ ′′ (11) x − x + x = 0, (y(t) = et ) t−1 t−1 t 1 ′ ′′ (12) x − x + x = t − 1, (y(t) = et ) t−1 t−1 2t + 3 ′ 2 (13) x′′ − x + x = 0, (y(t) = e2t ) t+1 t+1 2t + 3 ′ 2 t t (14) x′′ − x + x= e , (y(t) = e2t ) t+1 t+1 t+1
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