解析学 I 第 6回略解

解析学 I
第6回
略解
[6-1] 定義に従って示す．δz を z に関する Dirac 測度，または Dirac のデルタ測度などという．
∫
[6-2] 命題 3.13 の証明より，等号が成立するとき，θ = − Arg
f dµ として
X
∫
{|f | − Re(e
√
−1θ
f )} dµ = 0.
X
被積分関数は非負であるから，系 3.12 (2) を用いて |f | − Re(e
√
−1θ
√
−1θ
√
−1θ
f = |f | ∈ R+ µ-a.e. 逆にある θ ∈ R が存在し，e
∫
∫
f dµ =
|f | dµ であることが定義に従って確かめられる．
て，e
X
f ) = 0 µ-a.e. を得る．よっ
f ∈ R+ µ-a.e. であるとき，
X
[6-3] (1) µ({|f − fn | ≥ ε}) ≤ ε
−1
∫
|f − fn | dµ → 0.
X
(2) {fn }∞
n=1 が f に測度収束するとき, 任意の ε > 0 について，
∫
∫
∫
(|fn − f | ∧ 1) dµ ≤
dµ +
(|fn − f | ∧ 1) dµ
{|f −fn |≥ε}
X
{|f −fn |<ε}
≤ µ({|f − fn | ≥ ε}) + εµ(X) → εµ(X)
as n → ∞.
∫
ε → 0 とすれば，lim sup (|fn − f | ∧ 1) dµ = 0.
n→∞
X
∫
逆に lim
(|fn − f | ∧ 1) dµ = 0 ならば，ε ∈ (0, 1) に対して
n→∞
X
µ({|f − fn | ≥ ε}) = µ({|f − fn | ∧ 1 ≥ ε}) ≤ ε
−1
∫
(|fn − f | ∧ 1) dµ → 0.
X
（裏面に続く）
1
[6-4] (1)
a+
n,k
= max{an,k , 0},
a−
n,k
= max{−an,k , 0} とおくとき，仮定より，
(
∑ ∑
n
系 4.2 より，
(
∑ ∑
n
一般に
∑
∑
sn と
(R ∋)
)
a±
n,k
n
=
k
)
a+
n,k
−
)
a±
n,k
n
)
a−
n,k
=
(< ∞) .
(
∑ ∑
n
k
=
=
同様に
∑ ∑
k
n
a+
n,k
(
−
∑ ∑
)
a−
n,k
=
∑∑
n
k
k
∑∑
n
an,k =
k
−
∑
)
a+
n,k
k
a+
n,k
−
a+
n,k
)
)
k
∑∑
an,k .
k
an,k であり，(⋆) を用いて
n
∑∑
k
a+
n,k
(
∑ ∑(
n
)
(⋆)
k
n
(
k
∑
∑
∑
(sn − tn ) =
sn −
tn であるから，
(
∑ ∑
k
< ∞.
n
k
tn が収束すれば
(
∑ ∑
(
∑ ∑
)
a±
n,k
an,k (∈ R)
n
を得る．
(2) 一例として，an,n = 1, an,n+1 = −1 (n ∈ N), 他は 0.
以上
予告：6 月 10 日（木）3 限に中間試験を行います．範囲は「§4 収束定理」まで（「§5 測度の構成」
の前まで）．演習問題の類題を中心に出題する予定です．
成績評価について：まだ確定していませんが，心積もりとしては以下の通りです．
X = { 演習, 中間試験, 定期試験 }, M = 2X として可測空間 (X, M) を定め，受講生 A に対して
X 上の関数 fA を fA (x) =「A の “x” の点数」∈ [0, 100] で定義する．δx を X 上の x に関する
Dirac 測度（[6-1] 参照）とし，X 上の測度 µ1 , µ2 を
1
9
δ中間試験 + δ定期試験 ,
10
10
1
3
6
µ2 :=
δ演習 + δ中間試験 + δ定期試験
10
10
10
µ1 :=
で定めたとき，
∫
fA (x) µj (dx)
max
j=1,2
X
を A の素点，これを調整したものを A の最終成績とする．
2

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