第6回レポート問題 - 電気通信大学数学教室

レポート作成にあたっての注意
• 配布する解答用紙を使用すること．原則としてそれ以外の様式での提出は認めない．
• レポート作成にあたって，
– まずは自分ひとりで考えてみること．
– その上でよく分からなければ，いろいろな書籍を手に取って参考にしてみる，あるい
は友人や先輩に相談しにいって教えてもらうということは構わない．
– 但し，他の教員の方々はお忙しいのでこのレポートの問題について質問しにいかない
こと．もちろん数学演習の時間に担当教員に質問するのも NG とする．
• 文献や謝辞を明示すること．
– もし教科書以外の書籍を参考にした場合は，どのような書籍を参考にしたのか文献名
と著者名を明記すること．
– また友人や先輩と相談した場合には，その人たちの氏名を漏らさず明記し，謝辞を述
べること．
これが守られていない疑いがある答案を見つけた場合には，別途事情を聴く可能性がある．
参考にした文献や相談した人がいるにも拘わらずそれを明記していないことが発覚した場
合，厳正に対処する．
• なお，このレポートの内容は，成績評価に加味する．
但し，たとえ参考文献や相談した人の名前が明示してあっても，中身を理解しないまま
丸写ししていると思われるレポートに対してはわずかな加点しか行われないことに注意し
て欲しい．文献を読んだり教えてもらったりすることは大いに推奨するが，あくまでも答
案においては，自分の理解を自分の言葉で記述するように心がけること．
電気通信大学 2014 年度線形代数学第二 (担当：榎本直也)
第 6 回レポート（2014.12.9 配布）2014.12.16 講義開始時締切
テーマ「線形写像の表現行列」
1
(小問 (1)∼(4) の間に直接の関係はない．)
(1) φ : R[x]3 → R[x]3 を，φ(f (x)) = ex
る φ の表現行列を求めよ．
d −x
(e f (x)) で定義する．R3 の基底 (1, x, x2 , x3 ) に関す
dx
(2) C∞
の部分空間
V = ⟨sin x, cos x, sin 2x, cos 2x⟩ を考える．φ : V → V を φ(f (x)) =
( (R) π
)
f x+
で定義する．V の基底 (sin x, cos x, sin 2x, cos 2x) に関する φ の表現行列を求めよ．
4
(3) a を実数定数とする．線形写像 φ : R[x]3 → R[x]3 を次で定義する．
φ(f (x)) = x(1 − x)f ′′ (x) + (a + 3x)f ′ (x) − 3f (x)
(i) R[x]3 の基底 (1, x, x2 , x3 ) に関する φ の表現行列を求めよ．
(ii) Ker φ と Im φ について，次元と基底を一組それぞれ求めよ．
（a の値に関する場合分け
が必要である．
）
(4) R[x]3 の部分空間
W = {f (x) ∈ R[x]3 | f (0) = f (1) = f (2)}
を考える．この部分空間は，ある線形写像 φ : R[x]3 → R2 の核と見なすことができる．
(i) φ がどのような線形写像になるか．
(ii) R[x]3 の基底 (1, x, x2 , x3 ) と R2 の標準基底に関する φ の表現行列を求めよ．
(iii) W の次元と基底を一組求めよ．
2
R3 の基底 A と R2 の基底 B を
 
 
 

1
0
1
 
 
 

A = a1 =  0  , a2 =  1  , a3 =  1  ,
0
1
1
(
B=
]
[
b1 =
1
1
])
[
, b2 =
1
−1

[
]
x
x
+
3y
−
z




で定義する．
をとる．線形写像 f : R3 → R2 を f  y  =
−y + 5z
z

(1) R3 の標準基底と R2 の標準基底に関する f の表現行列を求めよ．
(2) f (a1 ), f (a2 ), f (a3 ) の B に関する座標をそれぞれ求めることにより，R3 の基底 A と R2 の基
底 B に関する f の表現行列を求めよ．
3
（小問 (1),(2) に直接の関係はない．
）


1 1 0


(1) ベクトル空間 V の基底 A = (v 1 , v 2 , v 3 ) に関する表現行列が， 0 2 0  であるよう
−2 2 −1
な線形写像 f : V → V を考える．
(i) V の別の基底 B = (v 1 − v 3 , v 1 + v 2 , v 3 ) に関する f の表現行列を求めよ．
(ii) 線形写像 g : V → V を g(v) = f 4 (v) − 5f 2 (v) で定義する．ただし，f k とは，線形写
像 f の k 回合成を表す．このとき，V の基底 B に関する g の表現行列と，V の基底 A
に関する g の表現行列をそれぞれ求めよ．


1 −1 0 2


(2) 3 × 4 行列 A =  0 1 −1 2  を用いて，fA (x) = Ax 定義される線形写像 fA : R4 →
1 −2 1 0
3
R を考える．行列 A の階数は 2 になる．そこで，R4 の基底
(x1 , x2 , x3 , x4 ) と R3 の基底

1 0 0 0


(y 1 , y 2 , y 3 ) であって，この基底に関する fA の表現行列が  0 1 0 0  となるものを一組
0 0 0 0
求めよ．

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