計量経済学練習問題３提出：12 月 3 日以下の設問に答えよ。 1. {(Xi , Yi )}ni=1 は i.i.d. とする。次のような定数項のないモデルを考える。 Yi = β1 Xi + ui E[ui |Xi ] = 0 E[u2i |Xi ] = Xi2 (a) 誤差項 ui は均一分散か、不均一分散か。説明せよ。 (b) 次のような β1 の推定量を考える。 1 ∑ Yi β˜1 = n i=1 Xi n β˜1 は β1 の不偏推定量であることを示せ。 Y1 Yn (c) Var[β˜1 ] を求めよ。(ヒント：i.i.d. の仮定から、 X ,..., X も i.i.d. となる。) 1 n 2. {(Xi , Yi )}ni=1 は i.i.d. とする。次のようなモデルを考える。 Yi = β0 + β1 Xi + ui , E[ui |Xi ] = 0 βˆ0 、βˆ1 を β0 、β1 の OLS 推定量とする。以下を示せ。（ヒント：OLS の正規方程式を利用する。） ∑n (a) Yˆi = βˆ0 + βˆ1 Xi とすると、 n1 i=1 Yˆi = Y¯ が成り立つ。 (b) TSS = ESS + SSR が成り立つ。 3. {(Xi , Yi )}ni=1 は i.i.d. であるとする。次のようなモデルを考える。 Yi = β0 + β1 Xi + ui , E[ui |Xi ] = 0 サンプルサイズが 250 の標本を用いて、OLS で推定したところ、以下のような結果が得られた。 Yˆ ＝ 5.4 ＋ 3.2X (3.1) (1.5) (a) H0 : β1 = 0 vs. H1 : β1 ̸= 0 を有意水準 5%で検定せよ。 (b) β1 の 95%信頼区間を求めよ。 (c) ある人が Xi と Yi は独立であると言ったとする。この意見は妥当であると考えられるか。説明せよ。 (d) Xi と Yi は独立であるとする。n = 250 の標本が 100 回得られたする。(a) の検定を 100 回行うと、何回程度帰無仮説は棄却されると考えられるか。また、(b) の信頼区間を 100 回求めると、何回程度 β1 = 0 は信頼区間に含まれると考えられるか。 1