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2015 年 1 月 14 日
第 22 回操作変数法（6.1, 8.2–8.4）
村澤康友
目次
1
説明変数と誤差項の相関
2
2
欠落変数（p. 107）
6
3
観測誤差（p. 174）
10
4
操作変数法
15
1
1 説明変数と誤差項の相関
線形モデル
(y, X) を大きさ n の無作為標本とする．
yi と xi に次の線形モデルを仮定する．
yi = x′i β + ui
E(ui ) = 0
E(ui |xi ) = 0 なら線形回帰モデル．
2
一致推定量（p. 276）
定義 1. 母数に確率収束する推定量を一致推定量という．
注：良い推定量の必要条件．
3
OLS 推定量の一致性（p. 173）
β の OLS 推定量を bn とする．
定理 1.
E(xi ui ) = 0 ⇐⇒ plim bn = β
n→∞
注：すなわち説明変数と誤差項が無相関であることが OLS
推定量の一致性の必要十分条件（回帰モデルなら必ず成立）．
4
証明：
(
bn =
n
∑
)−1
xi x′i
i=1
(
=β+
n
∑
xi yi
i=1
1
n
n
∑
)−1
xi x′i
i=1
n
∑
1
xi u i
n i=1
大数の法則より
plim bn = β + E(xi x′i )−1 E(xi ui )
n→∞
5
2 欠落変数（p. 107）
線形回帰モデル
(y, X, Z) を大きさ n の無作為標本とする．
yi の (xi , zi ) 上への線形回帰モデルは
yi = x′i β + zi′ γ + ui
E(ui |xi , zi ) = 0
6
欠落変数（p. 107）
zi が欠落すると，yi と xi の線形モデルは
yi = x′i β + vi
ただし vi := zi′ γ + ui ．
7
ここで
E(xi vi ) = E(xi (zi′ γ + ui ))
= E(xi zi′ )γ + E(xi ui )
= E(xi zi′ )γ
したがって E(xi zi′ ) = O または γ = 0 でなければ OLS 推定
量は一致推定量でない．
8
欠落変数バイアス（p. 108）
定義 2. 説明変数の欠落によって生じる OLS 推定量の偏り
を欠落変数バイアスという．
注：すべての説明変数を観測できない限り必ず発生する．
9
3 観測誤差（p. 174）
(y, X) を大きさ n の無作為標本とする．
xi は x∗i の誤差 vi を含んだ観測値とする．
xi = x∗i + vi
E(vi ) = 0
E(x∗i vi′ ) = O
10
yi の x∗i 上への線形回帰モデルを仮定する．
yi = x∗i ′ β + ui
E(ui |x∗i ) = 0
回帰誤差と観測誤差は無相関とする．
E(ui vi′ ) = 0′
11
線形モデル
yi と xi の線形モデルは
yi = (xi − vi )′ β + ui
= x′i β − vi′ β + ui
= x′i β + wi
ただし wi := −vi′ β + ui ．
12
ここで
E(xi wi ) = E((x∗i + vi )(−vi′ β + ui ))
= − E(x∗i vi′ )β − E(vi vi′ )β + E(x∗i ui ) + E(vi ui )
= − E(vi vi′ )β
したがって E(vi vi′ ) = O でなければ OLS 推定量は一致推定
量でない．
13
観測誤差バイアス（p. 174）
定義 3. 説明変数の観測誤差から生じる OLS 推定量の偏り
を観測誤差バイアスという．
注：観測誤差の欠落による欠落変数バイアスとも解釈で
きる．
注：被説明変数の観測誤差なら偏りは生じない．
14
4 操作変数法
操作変数（p. 181）
(y, X, Z) を大きさ n の (1 + 2k) 変量無作為標本とする．
定義 4. E(zi x′i ) が非特異で E(zi ui ) = 0 なら zi は β の推定
に関する操作変数（instrumental variable, IV）ベクトルと
いう．
15
注：線形回帰モデルなら逐次期待値の法則より
E(ui |xi ) = 0 =⇒ E(xi ui ) = 0
また正規方程式が解けるなら E(xi x′i ) は非特異．したがって
xi が IV ベクトルとなっている．
16
IV 推定量（p. 185）
定義 5. β の IV 推定量は
bIV,n := (Z ′ X)−1 Z ′ y
注：OLS 推定量は xi を IV ベクトルとした IV 推定量と解釈で
きる．
17
IV 推定量の一致性
定理 2.
plim bIV,n = β
n→∞
18
証明：
(
bIV,n :=
n
∑
)−1
zi x′i
i=1
(
=β+
n
∑
zi yi
i=1
1
n
n
∑
)−1
zi x′i
i=1
n
∑
1
zi ui
n i=1
大数の法則より
plim bIV,n = β + E(zi x′i )−1 E(zi ui )
n→∞
19
識別（p. 189）
(y, X, Z) を大きさ n の (1 + k + l) 変量無作為標本とする．
E(zi ui ) = 0 とする．
定義 6. 母数の一致推定量が存在するとき母数は識別可能と
いう．
20
階数条件と次数条件（p. 189）
定義 7. β の識別の階数条件は
rk(E(zi x′i )) ≥ k
注：このとき zi から k × 1 の IV ベクトルがつくれる．すなわ
ち識別の必要十分条件．
定義 8. β の識別の次数条件は
l≥k
注：識別の必要条件．
21
2 段階最小 2 乗法（p. 190）
l > k なら次のように IV ベクトルをつくる．
y と X の線形モデルは
y = Xβ + u
E(u) = 0
X と u の相関を取り除くには X を Z 上に射影すればよい．
定義 9. 各説明変数を IV ベクトルに回帰して回帰予測を求
め，それに被説明変数を回帰する方法を 2 段階最小 2 乗法
（2-stage least squares, 2SLS）という．
22
2SLS 推定量（p. 190）
定義 10. β の 2SLS 推定量は
(
b2SLS,n := X̂ ′ X̂
ただし
′
X̂ := Z(Z Z)
23
)−1
−1
′
X̂ ′ y
ZX
注：書き換えると
b2SLS,n
]−1
[ ′
′
−1 ′
′
−1 ′
= X Z(Z Z) Z Z(Z Z) Z X
X ′ Z(Z ′ Z)−1 Z ′ y
[ ′
]−1 ′
′
−1 ′
= X Z(Z Z) Z X
X Z(Z ′ Z)−1 Z ′ y
(
)−1
= X̂ ′ X
X̂ ′ y
したがって X̂ を IV とした IV 推定量と解釈できる．
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