第 22 回操作変数法

第 22 回操作変数法
村澤康友
2015 年 1 月 14 日
目次
説明変数と誤差項の相関
1
1.1
線形モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
欠落変数バイアス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
観測誤差バイアス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
操作変数法
3
2.1
操作変数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
識別 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
2 段階最小 2 乗法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1
2
1 説明変数と誤差項の相関
1.1 線形モデル
(y, X) を大きさ n の無作為標本とする．yi と xi に次の線形モデルを仮定する．
yi = x′i β + ui
E(ui ) = 0
E(ui |xi ) = 0 なら線形回帰モデル．β の OLS 推定量を bn とする．
定義 1. 母数に確率収束する推定量を一致推定量という．
定理 1.
E(xi ui ) = 0 ⇐⇒ plim bn = β
n→∞
1
証明. 書き換えると
(
bn =
(
=
n
∑
)−1
xi x′i
i=1
n
∑
)−1
xi x′i
i=1
(
=β+
(
=β+
大数の法則より
n
∑
xi yi
i=1
n
∑
xi (x′i β + ui )
i=1
n
∑
)−1
xi x′i
i=1
1∑
xi x′i
n i=1
n
n
∑
xi ui
i=1
)−1
1∑
xi ui
n i=1
n
plim bn = β + E(xi x′i )−1 E(xi ui )
n→∞
1.2 欠落変数バイアス
(y, X, Z) を大きさ n の無作為標本とする．次のような yi の (xi , zi ) 上への線形回帰モデルを仮定する．
yi = x′i β + zi′ γ + ui
E(ui |xi , zi ) = 0
zi が欠落すると，yi と xi の線形モデルは
yi = x′i β + vi
ただし vi := zi′ γ + ui ．ここで
E(xi vi ) = E(xi (zi′ γ + ui ))
= E(xi zi′ )γ + E(xi ui )
= E(xi zi′ )γ
したがって E(xi zi′ ) = O または γ = 0 でなければ OLS 推定量は一致推定量でない．
定義 2. 説明変数の欠落によって生じる OLS 推定量の偏りを欠落変数バイアスという．
注 1. すべての説明変数を観測できない限り必ず発生する．
1.3 観測誤差バイアス
(y, X) を大きさ n の無作為標本とする．xi は x∗i の誤差 vi を含んだ観測値とする．すなわち
xi = x∗i + vi
E(vi ) = 0
E(x∗i vi′ ) = O
2
次のような yi の x∗i 上への線形回帰モデルを仮定する．
yi = x∗i ′ β + ui
E(ui |x∗i ) = 0
回帰誤差と観測誤差は無相関とする．すなわち
E(ui vi′ ) = 0′
yi と xi の線形モデルは
yi = (xi − vi )′ β + ui
= x′i β − vi′ β + ui
= x′i β + wi
ただし wi := −vi′ β + ui ．ここで
E(xi wi ) = E((x∗i + vi )(−vi′ β + ui ))
= − E(x∗i vi′ )β − E(vi vi′ )β + E(x∗i ui ) + E(vi ui )
= − E(vi vi′ )β
したがって E(vi vi′ ) = O でなければ OLS 推定量は一致推定量でない．
定義 3. 説明変数の観測誤差から生じる OLS 推定量の偏りを観測誤差バイアスという．
注 2. 観測誤差の欠落による欠落変数バイアスとも解釈できる．
注 3. 被説明変数の観測誤差なら偏りは生じない．
2 操作変数法
2.1 操作変数法
(y, X, Z) を大きさ n の (1 + 2k) 変量無作為標本とする．
定義 4. E(zi x′i ) が非特異で E(zi ui ) = 0 なら zi は β の推定に関する操作変数（instrumental variable, IV）
ベクトルという．
注 4. 線形回帰モデルなら逐次期待値の法則より
E(ui |xi ) = 0 =⇒ E(xi ui ) = 0
また正規方程式が解けるなら E(xi x′i ) は非特異．したがって xi が IV ベクトルとなっている．
定義 5. β の IV 推定量は
bIV,n := (Z ′ X)−1 Z ′ y
注 5. OLS 推定量は xi を IV ベクトルとした IV 推定量と解釈できる．
3
定理 2.
plim bIV,n = β
n→∞
証明. 書き換えると
(
bIV,n :=
(
=
n
∑
)−1
zi x′i
i=1
n
∑
)−1
zi x′i
i=1
(
=β+
(
=β+
n
∑
zi x′i
n
∑
n
∑
zi (x′i β
i=1
)−1 n
∑
i=1
1∑
zi x′i
n i=1
n
zi yi
i=1
+ ui )
zi ui
i=1
)−1
1∑
zi ui
n i=1
n
大数の法則より
plim bIV,n = β + E(zi x′i )−1 E(zi ui )
n→∞
=β
2.2 識別
(y, X, Z) を大きさ n の (1 + k + l) 変量無作為標本とする．E(zi ui ) = 0 とする．
定義 6. 母数の一致推定量が存在するとき母数は識別可能という．
定義 7. β の識別の階数条件は
rk(E(zi x′i )) ≥ k
注 6. このとき zi から k × 1 の IV ベクトルがつくれる．すなわち識別の必要十分条件．
定義 8. β の識別の次数条件は
l≥k
注 7. 識別の必要条件．
2.3 2 段階最小 2 乗法
l > k なら次のように IV ベクトルをつくるのが最適．y と X の線形モデルは
y = Xβ + u
E(u) = 0
X と u の相関を取り除くには X を Z 上に射影すればよい．
4
定義 9. 各説明変数を IV ベクトルに回帰して回帰予測を求め，それに被説明変数を回帰する方法を 2 段階最
小 2 乗法（2-stage least squares, 2SLS）という．
定義 10. β の 2SLS 推定量は
ただし
)−1
(
X̂ ′ y
b2SLS,n := X̂ ′ X̂
X̂ := Z(Z ′ Z)−1 Z ′ X
注 8. 書き換えると
[
]−1 ′
b2SLS,n = X ′ Z(Z ′ Z)−1 Z ′ Z(Z ′ Z)−1 Z ′ X
X Z(Z ′ Z)−1 Z ′ y
[
]−1 ′
= X ′ Z(Z ′ Z)−1 Z ′ X
X Z(Z ′ Z)−1 Z ′ y
(
)−1
= X̂ ′ X
X̂ ′ y
したがって X̂ を IV とした IV 推定量と解釈できる．
5

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