演習問題の略解

電気回路および演習略答
（平成 26 年度）
鎌倉
〇多分, 間違えはないと思うが, 以下に解を示す. 各自, 再度, 解を見直すがよい.
第１回
R2
E
, (2) V0 = R2 I1 =
E,
R1 + R2
R1 + R2
R3
R3 E
E
×
=
, (4) R3 → R3 + RL と見て, (3) の結
(3) I2 =
R1 + R2 //R3
R2 + R3
R1 (R2 + R3 ) + R2 R3
R2 RL E
果を用いる. VL =
, (5) RL で消費される電力 P = VL2 /RL .
R1 (R2 + R3 + RL ) + R2 (R3 + RL )
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
a
= R3 + R1 //R2 となる. つまり, 端子 c–d か
dP/dRL = 0 から RL = =
b
R1 + R2
ら回路を見込んだ抵抗に等しい（電圧源は取り除いて短絡）.
[1]
(1) I1 =
(1) P = R1 I12 + R2 (I0 − I1 )2 = (R1 + R2 )I12 − 2R2 I0 I1 + R2 I02 , (2) 極値を求める. P を I1
R2
I0 を得る. (3) (2) の結果は, 並列回路における電流の分配則を示して
に関して微分し, I1 =
R1 + R2
いる.
[ 2 ]
第２回
(1) CD 間は電流が流れず開放とみてよい. したがって, 2R, R, 2R の並列回路. 合成抵抗は,
[ 1 ]
1/(1/2R + 1/R + 1/2R) = R/2 = 3 Ω.
開いているとき, 100/(10 + R) = 5 から, R = 10 Ω. 閉じているときは, 100/(10 + R//r) = 8
[2]
から, R = 10 を代入して, r = 10/3 ≃ 3.33 Ω.
両端に電圧源 E を加えたときに, この電源源に流れる電流 I を求め, E/I を計算すればよい.
[3]
回路方程式を立てて解くと, E = (124/29)I を得る. したがって, 合成抵抗は 124/29 ≃ 4.28 Ω とな
る. ∆ − Y 変換を用いても同じ結果を得る.
第３回
電源電圧は E0 = は 200 V, 内部抵抗は R0 = 60 Ω. これによって，等価電圧源（電圧源等価
[1]
回路）は, E0 と R0 の直列回路. また, 等価電流源（電流源等価回路）は, J0 = E0 /R0 = 10/3 A と,
コンダクタンス G0 = 1/R0 = 1/60 S の並列回路.
テブナンの定理, ノートンの定理を利用することで, 電圧 2 V の電源と 8/3 ≃ 2.67 Ω の抵抗
[ 2 ]
の直列回路.
[3]
(i) から 1 = a +
(a + 1)b
b
1
K −1
2K
, (ii) から
= . この 2 つの式から, a =
,b= 2
.
a+b+1
a+b+a
K
K +1
K −1
第４回
[ 1 ]
(1) 時間波形を描いて調べる. θ = π/6 − (−π/3) = π/2 = 90◦ だけ, 電流が起電力よりも
位相が進んでいる. (2) e(t + T /6) = Em sin[ω(t + T /6)] = Em sin(ωt + π/3). (3) i(t − 0.01) =
Im sin[ω(t − 0.01)] = Im sin(ωt − 2π × 50 × 0.01) = Im sin(ωt − π) = −Im sin(ωt).
[2]
(1) X = ωL = 120π × 100 × 10−3 ≃ 37.7 Ω. (2) X = 1/(2π × 106 × 1−6 ) = 1/2π ≃ 0.159 Ω.
√
√
(1) 実効値は Em . (2) 実効値は 1002 /2 + 502 /2 = 6250 ≃ 79.1 V. (3) 振幅 1 の正弦波
√
√
の最大値（振幅）は 1, 実効値は 1/ 2, 平均値は 2/π. したがって, 波高値は 2 ≃ 1.41, 波形率は
√
π/2 2 ≃ 1.11.
[ 3 ]
第５回
∫
回路電流を i = Im cos(ωt + θ) と置く. 回路方程式は Ri + (1/C) idt = {R cos(ωt + θ) +
√
(1/ωC) sin(ωt + θ)}Im = R2 + 1/ω 2 C 2 Im cos(ωt + θ − ϕ) = Em cos(ωt) である. 係数比較すると,
2
√
Em
Im = Em / R2 + 1/ω 2 C 2 , θ = ϕ = tan−1 (1/ωCR) を得る. 以上より, P = ei = √
cos θ.
2 R2 + 1/ω 2 C 2
この式は, 教科書の式 (4.48) に等しい. すなわち, 駆動電圧が sin(ωt) でも cos(ωt) でも平均電力は変
[ 1 ]
わらない.
√
√ √
iC の瞬時電流を
iC = IC 2 sin ωt = 5 3 2 sin ωt と置く.
∫
√
1
IC √
(1) v =
sin ωtdt = −
2 cos ωt = −600 2 cos ωt. これより, 端子電圧は 600 V.
C
ωC
√
(2) iR = v/R = −15 2 cos ωt となる. したがって, 抵抗に流れる電流は 15 A.
√
√
√
√
√
√
(3) i = iC + iR = (5 3 sin ωt − 15 cos ωt) 2 = 300 2 sin(ωt − θ). θ = tan −1(15/5 3 = 3. 以
√
上より, 合成電流は 300 = 17.3 A.
[2]
第６回
dv1
+ 5v1 = cos ω1 t を解く. 右辺を cos ω1 t = Re[ejω1 t ] と置
dt
d
dv1
= Re[V1 ejω1 t ] = Re[jω1 V1 ejω1 t ]
く. また, v1 = Re[V1 ejω1 t ] と置いて微分方程式に代入する.
dt
dt
1
1
なので, 結局 V1 =
=√
e−jθ1 を得る. ここで, θ1 = tan−1 (ω1 /5) である. v1 =
5 + jω1
25 + ω12
V1 ejω1 t をこの式に代入しても同様な式を得る（本当は, 左辺は実数, 右辺は複素数なので, イコー
1
ルで置いてはいけない. ここでは許す！）. よって, v1 = √
cos(ω1 t − θ1 ). 同様にして,
25 + ω12
1
sin(ω2 t − θ2 ), θ2 = tan−1 (ω2 /5).
v2 = √
25 + ω22
Z1 Z2
2+j
◦
[ 2 ] 直列の場合, Z = Z1 + Z2 = 5 + j3 Ω = 5.83ej31 Ω. 並列の場合は, Z =
=5
Z1 + Z2
5 + j3
◦
= 1.91 − j0.147 Ω = 1.92−j4.4 Ω.
√
◦
◦
40
2
◦
[ 3 ] V = √ ej75 V, I = √ ej15 A. よって, Z = V /I = 20ej60 = 10(1 + j 3) Ω. これより,
2 √
2
R = 10 Ω, X = 10 3 = 17.3 Ω. X は正なので誘導性リアクタンス, つまり素子はコイル L である.
[ 1 ] v = v1 + v2 と置いて, まずは
ω = 4 rad/s なので, L = 17.3/4 = 4.33 H.

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