10月22日

最適化手法講義資料（平成 26 年度冬学期）
対称行列の正定値性
対称行列 Q ∈ Rn×n の固有値 λi が全て 0 以上のとき，Q は半正定値であるといい，Q ⪰ O と書
く（不等式の右辺はゼロ行列）．次の三つの条件は互いに等価である：
(i) Q ⪰ O（つまり，λi ≥ 0 (i = 1, 2, . . . , n)）．
(ii) 任意の x ∈ Rn に対して x⊤ Qx ≥ 0．
(iii) Q = DD⊤ を満たす行列 D ∈ Rn×n が存在する．
例えば，ランクが 1 の行列 Q1 = aa⊤ （a ∈ Rn はベクトル）は，n × n 半正定値対称行列である．
m
∑
n
また，行列 Q2 =
bi b⊤
i （b1 , b2 , . . . , bm ∈ R は 1 次独立なベクトル）は，rank Q2 = m を満たす
i=1
n × n 半正定値対称行列である．
対称行列 Q ∈ Rn×n の固有値 λi が全て正のとき，Q は正定値であるといい，Q ≻ O と書く．次の
三つの条件は互いに等価である：
(a) Q ≻ O（つまり，λi > 0 (i = 1, 2, . . . , n)）．
(b) 0 でない任意の x ∈ Rn に対して x⊤ Qx > 0．
(c) Q = DD⊤ かつ rank D = n を満たす行列 D ∈ Rn×n が存在する．
さらに，Q ≻ O ならば逆行列 Q−1 が存在する．
例として，2 × 2 対称行列の場合を考える．Q を
[
]
a b
Q=
b c
とおく．このとき，tr Q = a + c = λ1 + λ2 ，det Q = ac − b2 = λ1 λ2 である．従って，Q が正定値で
あるための必要十分条件は，a + c > 0 および ac − b2 > 0 が成り立つことである．
• 以下，科目『最適化手法』としては，厳密には試験の範囲外
(a), (b), (c) が等価であることを説明する．n × n 対称行列 Q の固有値 λ1 , λ2 , . . . , λn に対応する
正規直交な固有ベクトルを u1 , u2 , . . . , un ∈ Rn で表す．つまり λi および ui (i = 1, 2, . . . , n) は
Qui = λi ui ,
u⊤
i ui = 1,
u⊤
i uj = 0
1
(1)
(2)
(i ̸= j)
(3)
を満たす．対称行列の対角化より，Q は
Q = U diag(λ)U ⊤ ,

λ1


λ2

diag(λ) = 


(4)

..



 ∈ Rn×n ,


.




n×n

U =
 u1 u2 . . . un  ∈ R
(5)
λn
と書くことができる．
n 次元ベクトル x に対して，f (x) = x⊤ Qx を Q の 2 次形式と呼ぶ．(4) および (5) を用いると，
2 次形式は
f (x) =
n
∑
2
λi (u⊤
i x)
i=1
と表せる．従って，条件 λi > 0 (i = 1, 2, . . . , n) が成り立つための必要十分条件は，任意の x ̸= 0 に
対して f (x) > 0 が成り立つことである．つまり，(a) と (b) は等価である．
λi > 0 (i = 1, 2, . . . , n) のとき，(4) および (5) を

Q = DD⊤ ,


√
√
√
 ∈ Rn×n
D=
λ
u
λ
u
.
.
.
λ
u
1
1
2
2
n
n


と書き直せる．このとき，u1 , u2 , . . . , un の 1 次独立性より rank D = n である．つまり，“(a) ⇒ (c)”
ˆ = n を満たす n × n 行列 D
ˆ を用いて Q
ˆをQ
ˆ=D
ˆD
ˆ ⊤ で定義する．このと
が成り立つ．逆に，rank D
ˆ は n × n 対称行列である．また，任意の x ̸= 0 に対して x⊤ Qx
ˆ = (x⊤ D)(
ˆ D
ˆ ⊤ x) = ∥D
ˆ ⊤ x∥2 > 0
き，Q
が成り立つ．つまり，“(c) ⇒ (b)” が成り立つ．以上より，(a), (b), (c) は互いに等価である．
次に，Q ≻ O ならば Q−1 が存在することを示す．(2) および (3) より，U は直交行列（つまり，
U ⊤ U = I を満たす行列）である．このことから，λi > 0 (i = 1, 2, . . . , n) であれば


1/λ1




1/λ2

 ⊤
−1
Q =U
U
..


.


1/λn
(6)
と書ける（(4) および (6) を用いて積 QQ−1 を計算するとすぐに確認できる）．従って，Q が正定値
ならば Q の逆行列 Q−1 が存在する．
(October 22, 2014, 寒野)
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